2. Доказательство иррациональности числа е.
Докажем теперь с помощью той же формулы Маклорена (6.77), что число
является иррациональным.
Используем для
формулу (6.62), положив в ней
Мы получим, что.
где
— некоторое число, удовлетворяющее неравенствам
Из этих неравенств и из (6.79) вытекает, что
удовлетворяет неравенствам
Итак, для
справедливо представление (6.77) с неравенствами для
вида (6.80).
Предполжим теперь, что число
является рациональным, т. е. его можно представить в виде
где
— некоторые целые положительные числа, второе из которых
мы, не ограничивая общности, можем считать не меньшим двух.
Выбирая в формуле Маклорена (6.77) номер
равным знаменателю рациональной дроби
мы получим, умножая формулу Маклорена (6.77) на
что каждое из чисел
является целым, в то время как число
в силу неравенств (6.80) удовлетворяет условиям
и заведомо не является целым. Таким образом, при умножении формулы Маклорена (6.77) на число
мы получаем соотношение
в левой части которого стоит целое число, а в правой части — число, не являющееся целым.
Мы получаем противоречие, которое доказывает, что наше предположение о том, что
— рациональное число, является ошибочным.
Иррациональность
доказана.