2. Доказательство иррациональности числа е.

Докажем теперь с помощью той же формулы Маклорена (6.77), что число является иррациональным.

Используем для формулу (6.62), положив в ней Мы получим, что.

где — некоторое число, удовлетворяющее неравенствам Из этих неравенств и из (6.79) вытекает, что удовлетворяет неравенствам

Итак, для справедливо представление (6.77) с неравенствами для вида (6.80).

Предполжим теперь, что число является рациональным, т. е. его можно представить в виде где — некоторые целые положительные числа, второе из которых мы, не ограничивая общности, можем считать не меньшим двух.

Выбирая в формуле Маклорена (6.77) номер равным знаменателю рациональной дроби мы получим, умножая формулу Маклорена (6.77) на что каждое из чисел является целым, в то время как число в силу неравенств (6.80) удовлетворяет условиям

и заведомо не является целым. Таким образом, при умножении формулы Маклорена (6.77) на число мы получаем соотношение

в левой части которого стоит целое число, а в правой части — число, не являющееся целым.

Мы получаем противоречие, которое доказывает, что наше предположение о том, что — рациональное число, является ошибочным.

Иррациональность доказана.