3. Длина дуги кривой. Понятие спрямляемой кривой.

В этом пункте мы введем понятие длины дуги параметризуемой кривой и рассмотрим некоторые свойства кривых, имеющих длину дуги (такие кривые принято называть спрямляемыми).

Условимся называть прямой линию, определяемую парамет рическими уравнениями Всегда можно выбрать так постоянные с и чтобы прямая проходила через две данные точки Участок прямой между точками называется отрезком, соединяющим эти точки, а совокупность конечного числа примыкающих друг к другу отрезков называется ломаной.

Пусть плоская кривая параметризуется уравнениями

Пусть, далее, Т — произвольное разбиение сегмента точками Обозначим через соответствующие точки кривой т. е. точки с координатами

Возникающую при этом ломаную будем называть

ломаной, вписанной в кривую и отвечающей разбиению Т сегмента . Длина звена этой ломаной есть расстояние между точками и Поэтому и длина всей ломаной будет равна

Введем понятие спрямляемой кривой.

Определение. Кривая называется спрямляемой, если множество длин вписанных в кривую ломаных отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента , ограничено. При этом точная верхняя грань множества называется длиной дуги кривой и обозначается символом

Из сформулированного определения нетрудно заключить, что длина дуги кривой всегда положительна.

Замечание 1. Существуют неспрямляемые кривые. Пример неспрямляемой кривой можно найти в книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», 1 (М., 1982, с. 382—386).

Докажем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма. Пусть — длина ломаной, вписанной в кривую и отвечающей разбиению То сегмента — длина ломаной, вписанной в кривую и отвечающей разбиению полученному из разбиения посредством добавления одной или нескольких новых точек. Тогда

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда к разбиению добавляется одна точка у. В этом случае ломаная, отвечающая разбиению отличается от ломаной, отвечающей разбиению только тем, что одно звено ломаной, отвечающей разбиению заменяется двумя звеньями ломаной, отвечающей разбиению (все остальные звенья у ломаных, отвечающих разбиениям То и являются общими). Так как длина одной стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, то а это и означает, что Лемма доказана.

Приведем некоторые свойства спрямляемых кривых:

1°. Если кривая спрямляема, то длина ее дуги не зависит от параметризации этой кривой.

Действительно, пусть имеются две параметризации кривой и — параметры этих параметризаций, определенные соответственно на сегментах Так как t представляет собой строго монотонную и непрерывную функцию от а

— строго монотонную и непрерывную функцию от то каждому разбиению Т сегмента соответствует определенное разбиение Р сегмента и наоборот. Очевидно, что вписанные в ломаные, отвечающие соответствующим разбиениям сегментов тождественны, и поэтому их длины равны. Но тогда и точные верхние грани двух тождественных числовых множеств равны, т. е. равны длины кривой при двух различных параметризациях.

2°. Если спрямляемая кривая разбита при помощи конечного числа точек на конечное число кривых причем точки соответствуют значениям параметра t и то каждая из кривых спрямляема и сумма длин всех кривых равна длине кривой

Очевидно, это свойство достаточно доказать для случая, когда кривая разбита точкой С на две кривые и Обозначим через y значение параметра которому отвечает точка С. Тогда точки кривой соответствуют значениям параметра t из сегмента а точки кривой соответствуют значениям параметра t из сегмента . Пусть — произвольные разбиения указанных сегментов, разбиение сегмента , полученное объединением разбиений Если — длины ломаных, вписанных в кривые и и отвечающих разбиениям и Т указанных выше сегментов, то, очевидно,

Поскольку числа положительны, то из равенства (10.4) и спрямляемости кривой следует, что множества длин вписанных в кривые и ломаных, отвечающих всевозможным разбиениям сегментов , ограничены, т. е. кривые спрямляемы. Отметим, что из равенства (10.4) и из определения длины дуги кривой следует, что длины дуг кривых удовлетворяют неравенству

Действительно, из равенства (10.4) вытекает, что для любых разбиений сегментов справедливо неравенство Из этого неравенства и определения точной верхней грани получим неравенство (10.5).

Покажем, что в неравенстве (10.5) на самом деле знак неравенства можно заменить на знак равенства. Предположим противное, т. е. предположим, что Тогда число

положительно. Из определения длины дуги кривой вытекает, что для положительного числа можно указать такое разбиение сегмента , что длина ломаной вписанной в кривую и отвечающей этому разбиению, удовлетворяет неравенству

Добавим к разбиению точку у и обозначим полученное при этом разбиение через Т. Тогда, в силу доказанной выше леммы, длина ломаной, отвечающей разбиению Т, тем более удовлетворяет неравенству Так как разбиение Т сегмента образовано объединением некоторых разбиений сегментов , то длины ломаных, отвечающих этим разбиениям, удовлетворяют соотношению (10.4). Поэтому справедливо неравенство Так как то тем более справедливо неравенство Но это неравенство противоречит равенству (10.6). Полученное противоречие доказывает, что предположение о том, что является неверным, и, следовательно, Свойство 2° полностью установлено.

Замечание 2. Понятие длины дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями (10.3), вводится точно так же, как и понятие длины дуги плоской кривой. Точно так же, как и в плоском случае, рассматриваются длины ломаных, вписанных в кривую причем

Пространственная кривая определяемая уравнениями (10.3), называется спрямляемой, если множество длин ломаных I, вписанных в эту кривую, ограничено. Точная верхняя грань этого множества называется длиной дуги

Пространственные спрямляемые кривые обладают свойствами 1° и 2°, приведенными выше для плоских кривых. Доказательство этих свойств аналогично доказательствам для плоских кривых.