Глава 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Многие вопросы естествознания приводят к рассмотрению такой зависимости между несколькими переменными величинами, при которой значения одной из переменных величин полностью определяются значениями остальных переменных.

Так, например, при рассмотрении каких-либо физических характеристик тела (например, его плотности или температуры Т) нам приходится учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой. Поскольку каждая точка тела определяется тремя декартовыми координатами и то рассматриваемые характеристики (плотность или температура Т) определяются значениями трех переменных

При рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями четырех переменных, трех координат точки и времени Например, при изучении звуковых колебаний газа плотность этого газа и его давление определяются значениями четырех переменных

Для изучения такого рода зависимостей в этой главе вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.

Первая часть настоящей главы посвящена построению дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

На случай функции нескольких переменных будут распространены понятия и утверждения, установленные нами ,в гл. 3—7 для функции одной переменной.

В одном из дополнений к настоящей главе изучаются элементы дифференциального исчисления для абстрактных функций, представляющих собой результат отображения одного нормированного пространства в другое. Частным случаем такого отображения является довольно часто встречающееся отображение евклидова пространства размерности в другое евклидово пространство размерности

§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ

1. Понятие m-мерного координатного и m-мерного евклидова пространств.

При изложении теории функций переменных удобно использовать геометрическую терминологию, обобщающую и

формализующую наши представления о плоскости и о реальном (трехмерном) геометрическом пространстве.

Назовем m-мерным координатным пространством множество всевозможных упорядоченных совокупностей вещественных чисел .

Будем обозначать m-мерное координатное пространство символом .

Каждую упорядоченную совокупность мы будем называть точкой -мерного координатного пространства и обозначать одной буквой М.

При этом числа мы будем называть координатами точки М.

Запись означает, что точка М имеет координаты

Замечание 1. Если рассматривать координатное пространство как множество всех векторов х с координатами и назвать суммой векторов вектор с координатами а произведением вектора на вещественное число А — вектор с координатами то координатное пространство превращается в линейное пространство.

Из курса аналитической геометрии читатель хорошо знаком с понятиями координатной плоскости и трехмерного координатного пространства. Обобщением этих понятий и является -мерное координатное пространство Ат. Понятия координатной плоскости и трехмерного координатного пространства являются источниками удобной геометрической терминологии, употребляемой при изучении m-мерного координатного пространства .

Заметим теперь, что для наших целей оказывается недостаточно понятия m-мерного координатного пространства . Мы не обойдемся без измерения расстояний между точками этого пространства. Для введения понятия расстояния между точками координатного пространства естественно отправляться от понятия расстояния между двумя точками координатной плоскости и двумя точками трехмерного координатного пространства (соответствующие

формулы хорошо известны читателю из курса аналитической геометрии).

Определение. Координатное пространство называется m-мерным евклидовым пространством, если между двумя любыми точками пространства определено расстояние, обозначаемое символом и выражающееся соотношением

Будем обозначать m-мерное евклидово пространство символом .

Введенное нами понятие m-мерного евклидова пространства является естественным обобщением понятий евклидовой плоскости и трехмерного евклидова пространства, изученных в курсе аналитической геометрии.

Замечание 2. В курсе линейной алгебры дается общее определение евклидова пространства как такого линейного пространства, для которого указано правило, ставящее в соответствии любым двум элементам х и у этого пространства вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом при условии, что это правило удовлетворяет четырем аксиомам: причем только для нулевого элемента

Легко проверить, что если в пространстве элементы которого рассматриваются как векторы х с координатами определить скалярное произведение двух элементов соотношением

то будут выполнены четыре указанные аксиомы и пространство превратится в евклидово пространство (с точки зрения общего определения евклидова пространства).

Напомним, что линейное пространство называется нормированным, если указано правило, ставящее в соответствие каждому элементу х вещественное число, называемое нормой этого элемента и обозначаемое символом причем указанное правило удовлетворяет трем аксиомам: , причем только для нулевого элемента

В курсе линейной алгебры доказывается, что всякое евклидово пространство является нормированным: достаточно определить норму любого элемента х соотношением

Нормированное пространство всегда является так называемым метрическим пространством, т. е. таким пространством, в котором указано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам вещественное число, называемое расстоянием между этими элементами и обозначаемое символом при условии, что это правило удовлетворяет трем аксиомам: причем только когда

Достаточно определить расстояние соотношением

Если учесть, что координатное пространство является евклидовым пространством со скалярным произведением, определяемым соотношением (12.2), то мы придем к следующему выражению для расстояния между двумя элементами пространства

Полученное выражение в точности совпадает с величиной, стоящей в правой части (12.1).