5. Третье достаточное условие, экстремума.

Установим еще одно докатанное условие локального экстремума, пригодное в случае, когда вторая производная функции в данной стационарной точке обращается в нуль.

Теорема 7.3. Пусть - некоторое нечетное число, и пусть функция имеет производную порядка в некоторой окрестности точки с и производную порядка в самой точке с. Тогда, если выполнены соотношения

то функция имеет в точке с локальный экстремум, точнее, локальный максимум при и локальный минимум при

Доказательство. При теорема 7.3 совпадает с уже доказанной выше теоремой 7.2, так что нужно вести доказательство лишь при нечетном

Пусть нечетное число удовлетворяет условию и пусть ради определенности Докажем, что функция имеет в точке с локальный минимум.

Так как то, в силу теоремы 6.1 о достаточном условии возрастания функции в точке, функция возрастает в точке с. Но тогда, поскольку можно утверждать, что всюду в достаточно малой окрестности точки с функция отрицательна слева от с и положительна справа от с.

Заметив это, разложим функцию в окрестности точки с по формуле Тейлора, записав остаточный член в форме Лагранжа (см. § 7 и 8 гл. 6). Мы получим, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с между с найдется точка такая, что

В силу соотношений (7.3) написанное разложение принимает вид

Выше мы установили, что для всех из достаточно малой окрестности точки с производная отрицательна слева от с и положительна справа от с. Так как § лежит между х и с, то для всех из достаточно малой окрестности точки с величина (а значит, в силу нечетности и вся правая часть отрицательна слева от с и положительна справа от с.

Итак, с помощью равенства (7.4) мы доказали, что производная для всех х из достаточно малой окрестности точки с отрицательна слева от с и положительна справа от с.

В этой ситуации, в силу первого достаточного условия экстремума (т. е. теоремы 7.1), функция имеет в точке с локальный минимум.

Случай рассматривается совершенно аналогично. Те же рассуждения и формула (7.4) в этом случае дают возможность заключить, что функция имеет в точке с локальный максимум. Теорема полностью доказана.

Замечание. Очень важным является требование нечетности числа в теореме 7.3. При четном и при сохранении всех остальных условий теоремы 7.3 никакого экстремума у функции в точке с не будет (см. по этому поводу теорему 7.10 из п. 5 § 3 этой главы).