2. Достаточные условия экстремума.

Напомним, что для функции переменных справедливы следующие утверждения.

Если функция имеет в точке локальный минимум (максимум), то в этой точке Если в точке выполнены условия:

когда не все то в этой точке имеет локальный минимум (максимум).

Посмотрим, в какой мере эти факты переносятся на функционалы, определенные на банаховом пространстве.

Теорема. Пусть — функционал, принимающий действительные значения и заданный в банаховом пространстве В. Пусть имеет в некоторой окрестности точки непрерывную вторую производную. Если этот функционал достигает в точке локального минимума (максимума), то

Доказательство. Заметим прежде всего, что Поэтому неравенство означает, что для всех Лей. По формуле Тейлора получаем

Допустим для определенности, что в точке функционал имеет локальный минимум. Тогда и, следовательно,

Если при каком-либо выполнено противоположное неравенство то, поскольку при любых действительных X, существуют сколь угодно малые по норме элементы для которых Но при достаточно малых знак выражения

определяется знаком главного члена и мы получаем, что

т. е. минимума в точке нет.

Аналогичные рассуждения проводятся и для того случая, когда в точке функционал имеет локальный максимум. Теорема доказана.

Как видим, эта теорема есть прямое обобщение соответствующего утверждения о необходимом условии экстремума для случая функции переменных.

Однако если речь идет о достаточных условиях экстремума функционалов, то полная аналогия со случаем функции переменных исчезает.

Условие положительной определенности второго дифференциала, достаточное для минимума в стационарной точке в случае функции переменных, не является достаточным для минимума в стационарной точке функционалов, определенных на произвольных банаховых пространствах.

Для примера рассмотрим пространство всевозможных последовательностей действительных чисел таких, что Сумма двух послелоги вательностей определяется так: произведение последовательности на число X определяется по правилу: Из элементарного неравенства следует, что элемент принадлежит нашему пространству, если х и у ему принадлежат, поскольку Таким образом, введенное пространство линейно.

Если ввести в этом линейном пространстве норму, положив по определению, что

то введенное нами пространство становится нормированным. Аксиомы нормы проверяются здесь без труда. В частности,

аксиома треугольника следует из того, что при каждом натуральном справедливо неравенство

(см. дополнение 2). Переходя здесь к пределу при получаем неравенство треугольника.

Рассмотрим в данном нормированном пространстве функционал

Вычислим первый и второй дифференциалы этого функционала в точке 0. Имеем

где многоточием обозначены члены, не являющиеся линейными по Таким образом, в точке первый дифференциал равен нулю. Вычисляя, аналогично находим, что второй дифференциал в точке положительно определен. Тем не менее в точке минимума нет. Действительно, и поэтому Поскольку элемент может быть по норме сделан сколь угодно малым где — произвольно большое натуральное числю), то в любой сколь угодно малой окрестности точки существуют точки х, в которых Следовательно, в точке минимума нет.

Введем следующее определение.

Определение. Квадратичный функционал называется сильно положительным, если существует такое

положительное число у, что для всех х. Если для всех ненулевых х, то функционал называется положит но определенным.

Очевидно, что сильно положительный квадратичный функционал является положительно определенным. Обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема. Если дважды дифференцируемый функционал определенный в банаховом пространстве В, удовлетворяет в точке условиям-. — сильно положительный квадратичный функционал, то имеет в точке локальный минимум.

Доказательство. Пусть Выберем настолько малым, чтобы при величина в равенстве удовлетворяла условию Тогда

при Следовательно, в точке имеется локальный минимум функционала Теорема доказана.

Эта теорема вместе с приведенным выше примером функционала в показывает, в частности, что сильная положительность есть более сильное условие, чем положительная определенность квадратичного функционала. Заметим, что в конечномерном. пространстве сильная положительность квадратичной формы эквивалентна ее положительной определенности.

Заканчивая дополнение 3, подчеркнем, что предыдущая теорема устанавливает достаточное условие минимума, которое является весьма общим и вместе с тем трудно проверяемым в ряде задач. Поэтому в вариационном исчислении, исходя из конкретного вида функционала, устанавливают другие более тонкие достаточные условия экстремумов функционала. На этом вопросе в данном курсе мы останавливаться не будем.