§ 4. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Определение 1. Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции если хотя бы один из пределов

равен или

Пример. График функции имеет вертикальную асимптоту ибо (рис. 7.14).

Предположим, далее, что функция определена для сколь угодно больших значений аргумента. Ради определенности будем рассматривать сколь угодно большие значения положительного знака.

Определение 2. Говорят, что прямая

является наклонной асимптотой графика функции при если представима в виде

где

Рис. 7.14

Теорема 7.11. Для того чтобы график функции имел наклонную асимптоту (7.8), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть график функции имеет при асимптоту (7.8), т. е. для справедливо представление (7.9). Тогда

2) Достаточность. Пусть существуют пределы (7.10). Второй из этих пределов дает право утверждать, что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую через получим для представление (7.9). Теорема доказана.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 7-11 и для случая

Пример. График функции имеет наклонную

асимптоту и при и при и, кроме того, имеет вертикальную асимптоту (рис. 7.15). В самом деле,

Наряду с линейной асимптотой (7.8) рассматривают также и асимптоты более сложного вида.

Рис. 7.15

Говорят, что парабола порядка, определяемая многочленом

является асимптотой графика функции при если функция представима в виде

Легко доказать следующее утверждение.

Для того чтобы график функции имел при асимптоту (7.8, необходимо и достаточно, чтобы существовали следующие пределов:

§ 5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

В этом параграфе мы изложим схему, по которой целесообразно проводить исследование графика функции, и приведем пример, иллюстрирующий эту схему.

Для исследования графика функции целесообразно прежде всего провести следующие исследования:

1°. Уточнить область задания функции.

2°. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).

3°. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

4°. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба.

5°. Найти точки пересечения графика функции с осью

По полученным данным легко строится эскиз графика функции. В качестве примера построим график функции

Будем следовать изложенной выше схеме.

1°. Поскольку функция (7.11) представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна всюду на бесконечной прямой, кроме точки в которой обращается в нуль знаменатель.

2°. Выясним вопрос о существовании асимптот. Очевидно, что

поэтому график функции имеет вертикальную асимптоту Далее, из существования пределов

вытекает, что при и при график функции имеет наклонную асимптоту

3°. Для нахождения областей возрастания и убывания вычислим первую производную функции (7.11):

Имея в виду, кроме того, что сама функция и первая производная не существуют при мы получим следующие области сохранения знака у.

Из приведенной таблицы очевидно, что функция имеет следующие точки экстремума:

1) максимум при причем

2) максимум при причем

3) минимум при причем

4°. Для нахождения областей сохранения направления выпуклости вычислим вторую производную

Имея в виду, что сама функция и ее производные не существуют в точке мы получим следующие области сохранения знака

Из приведенной таблицы очевидно, что график функции имеет перегиб в точке Легко подсчитать, что

5°. Остается найти точки пересечения графика с осью Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения

Легко видеть, что

Поскольку квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, то рассматриваемое уравнение имеет только один

Рис. 7.16

вещественный корень так что график функции пересекает ось в точке (1,0). По полученным данным строим эскиз графика рассматриваемой функции (рис. 7.16).