2. Дифференциалы высших порядков.

Выше мы использовали для обозначения дифференциалов аргументов функции и для обозначения дифференциала самой этой функции символы соответственно.

Теперь нам придется использовать для обозначения дифференциалов аргументов указанной функции и дифференциала самой этой функции и другие символы. В частности, мы будем обозначать

дифференциалы аргументов функции и дифференциал самой этой функции символами соответственно. В этих обозначениях инвариантное по форме выражение для первого дифференциала этой функции будет иметь вид

Возвращаясь к прежним обозначениям, рассмотрим выражение (12.20) для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке функции

Предположим, что величина, стоящая в правой части (12.20), представляет собой функцию аргументов дифференцируемую в данной точке Для этого достаточно потребовать, чтобы функция была два раза дифференцируема в данной точке а аргументы являлись либо независимыми переменными, либо два раза дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных

При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал

от величины (12.20).

Определение 1. Значение дифференциала от первого дифференциала (12.20), взятое при называется вторым дифференциалом функции (в данной точке и обозначается символом

Итак, по определению

Дифференциал любого порядка введем по индукции.

Предположим, что уже введен дифференциал порядка и что функция раз дифференцируема в данной точке а ее аргументы являются либо независимыми переменными, либо раз дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных

Определение 2. Значение дифференциала от дифференциала взятое при называется дифференциалом функции (в данной точке и обозначается символом

Итак, по определению

При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится существенно различать два случая: 1) случай, когда аргументы являются независимыми переменными, 2) случай, когда аргументы являются соответствующее число раз дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных

Рассмотрим сначала первый случай. Если являются независимыми переменными, то мы имеем право считать, что не зависят от

Каждый дифференциал мы можем взять равным одному и тому же приращению для всех точек При этом мы получим, что

Последнее соотношение и правила дифференцирования, установленные в конце п. 7 § 3, позволяют нам записать для два раза дифференцируемой в данной точке М функции следующую цепочку равенства:

(Мы воспользовались еще и тем, что для два раза дифференцируемой функции смешанные производные второго порядка не зависят от того, в какой последовательности производится дифференцирование).

Итак, мы получаем, что в случае, когда аргументы являются независимыми переменными, для второго дифференциала два раза дифференцируемой в данной точке функции справедливо представление

Замечание 1. Функция переменных вида где — постоянные вещественные числа, называется квадратичной формой от переменных а числа а, — ее коэффициентами.

Квадратичная форма называется симметричной, если ее коэффициенты удовлетворяют условию (для всех

Полученное нами выражение (12.44) позволяет утверждать, что для случая, когда аргументы являются независимыми переменными, второй дифференциал два раза дифференцируемой данной точке М функции представляет собой симметричную квадратичную форму от переменных коэффициенты которой равны соответствующим частным производным второго порядка функции взятом данной точке М.

Отметим, что полученное нами выражение для дифференциала второго порядка (12.44) можно переписать и в другом виде, используя формальный символ

С помощью этого символа выражение (12.44) может быть переписано в виде

По индукции легко убедиться в том, что в случае, когда аргументы раз дифференцируемой в данной точке функции являются независимыми переменными, для дифференциала этой функции справедливо представление

Это представление с помощью формального символа (12.45) может быть переписано в виде

Совершенно другой вид имеют представления для второго и последующего дифференциалов в случае, когда аргументы функции являются соответствующее число раз дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных

Обращаясь к этому случаю, установим выражение для второго дифференциала два раза дифференцируемой в данной точке функции аргументы которой являются два раза дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных

Повторяя рассуждения из цепочки (12.43), мы на этот раз получим

Заметим, что в силу определения второго дифференциала функции (где — любой из номеров

Учитывая это соотношение, мы приходим к следующему представлению для второго дифференциала:

или (с использованием символа

Сравнивая полученное нами представление (12.48) с представлением (12.46), мы убедимся в том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы.

Тем более не обладают свойством инвариантности формы все последующие дифференциалы.

Замечание 2. Укажем важный частный случай, когда второй и последующие дифференциалы функции переменных и все же обладают инвариантностью формы и определяются той самой формулой (12.47), что и для случая независимых переменных .

Будем говорить, что переменные являются линейными функциями независимых переменных если они определяются равенствами

в которых через обозначены некоторые постоянные.

Заметим, что если функция является раз дифференцируемой в данной точке а ее аргументы являются линейными функциями независимых переменных то дифференциал функции определяется той же самой формулой (12.47), что и для случая независимых переменных хт.

Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что поскольку являются независимыми переменными, то дифференциал как функции аргументов определяется равенством типа (12.47), а точнее, равенством

Но любая частная производная выше первого порядка от линейной функции равна нулю.

Значит,

Равенство всех и представление (12.48) дают право заключить, что определяется равенством (12.46). Совершенно аналогично, используя соотношения мы по индукции докажем, что определяются равенством (12.47).

Замечание 3. При проведении вычислений иногда требуется расшифровать равенство (12.47) и, учитывая, что в этом равенстве имеются совпадающие члены, выписать все различные члены этого равенства со стоящими перед ними коэффициентами.

Для этой цели может быть использована формула полинома Ньютона, имеющая вид

(Суммирование в правой части этой формулы идет по всем целочисленным индексам каждый из которых удовлетворяет неравенствам при условии, что сумма всех этих индексов равна

Формулу (12.49) нетрудно установить по индукции. В самом деле, при и любом целом эта формула заведомо справедлива, ибо она переходит в известную формулу бинома Ньютона.

Предположим, что эта формула справедлива для некоторого номера и любого целого и проверим, что в таком случае она справедлива и для номера и любого целого

Представив в виде

подсчитаем с помощью бинома Ньютона коэффициент при . В силу равенства , формулы бинома Ньютона и предположения о справедливости формулы (12.49) для номера и любого целого этот коэффициент равен

Полученное нами выражение для коэффициента в точности совпадает с тем выражением, которое получится из формулы (12.49), если в этой формуле заменить номер на

Индукция завершена, и формула (12.49) доказана.

Формула (12.49). дает нам право переписать выражение (12.47) для дифференциала в следующем виде: