2. Понятие параметризуемой кривой.

В предыдущем пункте мы рассматривали простые кривые. Следует заметить, что в математическом анализе часто приходится рассматривать кривые, не являющиеся простыми, например кривые, имеющие точки самопересечения или целые участки самоналегания. В связи с этим возникает необходимость ввести в рассмотрение понятие так называемой параметризуемой кривой.

Будем считать, что множество представляет собой либо сегмент, либо полусегмент, либо интервал, либо числовую прямую, либо открытую или замкнутую полупрямую.

Введем понятие разбиения множества Будем говорить, что конечная или бесконечная система сегментов разбивает множес во если, во-первых, объединение всех этих сегментов представляет собой все множество и, во-вторых, общими точками любых двух сегментов системы могут быть лишь их концы.

Рассмотрим примеры разбиений некоторых из указанных выше множеств

1) Система сегментов [0, 1/2], [1/2, 1], очевидно, разбивает сегмент [0,1].

2) Система сегментов где разбивает полупрямую

3) Система сегментов где — любое целое число, очевидно, разбивает всю числовую прямую.

Пусть множество представляет собой одно из указанных выше множеств, а функции непрерывны на этом множестве. Введем понятие параметризуемой кривой.

Определение. Будем говорить, что уравнения

задают параметризуемую кривую если существует такая система сегментов разбивающих множество что для значений t из каждого сегмента этой системы уравнения (10.2) определяют простую кривую.

Между точками кривой можно ввести некоторое отношение порядка. Пусть точка соответствует значению параметра а точка — значению

Мы скажем, что точка предшествует точке (и запишем если

Заметим, что точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

Таким образом, параметризуемую кривую можно рассматривать как объединение простых кривых, причем эти простые кривые последовательно пробегаются точкой М, координаты которой определяются уравнениями (10.2), когда параметр монотонно возрастая, пробегает множество

Замечание 1. Простую кривую молено рассматривать как частный случай параметризуемой кривой. В этом случае система сегментов, разбивающих сегмент состоит из одного сегмента, а именно из самого сегмента .

Замечание 2. Про параметризуемую кривую, определяемую уравнениями (10.2), говорят также, что эта кривая параметризована при помощи уравнений (10.2). Заметим, что одна и та же кривая может быть параметризована различными способами. Мы будем рассматривать всевозможные параметризации кривой получающиеся из любой данной параметризации путем представления параметра t в виде непрерывных, строго возрастающих функций другого параметра Только при таких преобразованиях параметра сохраняется порядок следования точек на кривой

Замечание 3. Понятие пространственной кривой вводится в полной аналогии с понятием плоской кривой. Так же, как и для плоской простой кривой, пространственная простая кривая — это множество точек пространства, координаты которых определяются уравнениями

при условии непрерывности функций на сегменте и при условии несовпадения точек множества отвечающих различным значениям параметра

Используя понятие простой пространственной кривой и понятие разбиения множества изменения параметра, так же как и в плоском случае, дается определение параметризуемой пространственной кривой (задаваемой уравнениями

Приведем примеры параметризуемых кривых.

1) Пусть плоская кривая задается уравнениями

Очевидно, сегмент можно разбить на сегменты такие, что для значений t из каждого указанного сегмента выписанные уравнения определяют простую кривую, а именно полуокружность. В данном случае кривая представляет собой окружность, у которой полуокружность, лежащая в верхней полуплоскости, проходится дважды.

2) Уравнения

задают простую пространственную кривую, называемую винтовой линией.