Заметим, что, как и в п. 2, достаточно рассмотреть случай, когда 
, и доказать неравенство 
Запишем неравенство Юнга в любой точке х для функций 
Получим
Интегрируя это неравенство, получим
но, согласно свойству д) п. 2 § 4
Поэтому доказательство завершено.
Как и при выводе неравенства Гёльдера для сумм, мы предполагали, что 
. В противном случае неравенство очевидно.
Замечание. В случае 
неравенство Гёльдера превращается в неравенство
которое называется неравенством Коши — Буняковского для интегралов.
— две произвольные интегрируемые на сегменте 
функции, пусть 
— два числа, превосходящие единицу, и 
Тогда справедливо неравенство Гёльдера для интегралов
