4. Неравенство Гёльдера для интегралов.

Пусть — две произвольные интегрируемые на сегменте функции, пусть — два числа, превосходящие единицу, и Тогда справедливо неравенство Гёльдера для интегралов

(все написанные интегралы существуют в силу следствия из теоремы 9.4).

Заметим, что, как и в п. 2, достаточно рассмотреть случай, когда , и доказать неравенство Запишем неравенство Юнга в любой точке х для функций Получим

Интегрируя это неравенство, получим

но, согласно свойству д) п. 2 § 4

Поэтому доказательство завершено.

Как и при выводе неравенства Гёльдера для сумм, мы предполагали, что . В противном случае неравенство очевидно.

Замечание. В случае неравенство Гёльдера превращается в неравенство

которое называется неравенством Коши — Буняковского для интегралов.