2. О покрытиях множества системой открытых множеств.

Определение 1. Будем говорить, что система открытых множеств образует покрытие множества если любая точка х множества принадлежит хотя бы одному из множеств системы

Докажем две замечательные леммы о покрытиях множества системой открытых множеств.

Лемма Гейне—Бореля для сегмента. Из любой системы открытых множеств , образующей покрытие сегмента можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие этого сегмента.

Доказательство. Пусть бесконечная система открытых множеств образует покрытие сегмента

Допустим, что сегмент нельзя покрыть конечным набором открытых множеств из системы Тогда, разделив этот сегмент I пополам, мы получим, что хотя бы одну из половин сегмента I нельзя покрыть конечным набором открытых множеств из системы Обозначим эту половину, через

Поделив пополам, мы получим, что хотя бы одну из половин (обозначим ее через нельзя покрыть конечным набором множеств из системы

Продолжая далее эти рассуждения, мы получим систему вложенных сегментов каждый из которых нельзя покрыть конечным набором множеств из системы Длина сегмента составляет 1/2" часть длины основного сегмента и стремится к нулю при

В силу следствия из теоремы 3.15 (см. п. 2 § 2 гл. 3) существует единственная точка с, принадлежащая всем сегментам Так как эта точка с принадлежит основному сегменту то в системе найдется открытое множество которому принадлежит точка с. В силу того, что множество является открытым, найдется такое, что -окрестность точки с, т. е. интервал также принадлежит множеству

В силу того, что все сегменты содержат точку с и длины этих интервалов стремятся к нулю при можно утверждать, что найдется номер такой, что при газяо все сегменты содержатся в интервале б).

Но это означает, что все сегменты при могут быть покрыты одним множеством системы Тем самым мы получили противоречие с утверждением о том, что ни один сегмент нельзя покрыть конечным набором множеств из системы Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Докажем теперь более общее утверждение.

Лемма Гейне-Бореля для замкнутого ограниченного множества. Из любой системы. открытых множеств 2а, образующей покрытие замкнутого ограниченного множества можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие множества

Доказательство. Пусть — замкнутое ограниченное множество, — система открытых множеств, образующая покрытие множества

Так как множество ограничено, то найдется сегмент содержащий это множество. Обозначим через открытое множество, являющееся дополнением к замкнутому множеству и заметим, что объединение системы с открытым множеством образует покрытие сегмента . В силу леммы Гейне—Бореля для сегмента из этого покрытия можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие сегмента

Если множество входит в эту конечную подсистему, то, удалив его из нее, мы получим конечную подсистему системы образующую покрытие множества

Если же множество не входит в конечную подсистему, образующую покрытие сегмента то эта конечная подсистема состоит исключительно из множеств системы и образует покрытие множества содержащегося в сегменте Лемма доказана.