3. Понятие компактности множества.

Пусть — произвольное множество вещественных чисел.

Определение 1. Множество называется компактным множеством (или компактом), если из любой системы открытых множеств, образующей покрытие множества можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие множества

В замечании 4 в конце п. 3 § 6 было дано другое определение компактного множества. Напомним его формулировку.

Определение 1. Множество называется компактным, если оно является замкнутым и ограниченным

Докажем, что для произвольных числовых множеств определения 1 и 1 эквивалентны.

1) Пусть сначала множество является замкнутым и ограниченным. Тогда тот факт, что из любой системы открытых множеств образующей покрытие можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие сразу вытекает из леммы Гейне—Бореля (см. п. 2).

2) Пусть множество таково, что из любой системы открытых множеств образующей покрытие можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие

Докажем, что множество является замкнутым и ограниченным.

Сначала докажем замкнутость множества

Достаточно доказать, что дополнение D множества является открытым множеством.

Фиксируем произвольную точку у дополнения Требуется доказать, что существует некоторая -окрестность точки у, также принадлежащая дополнению

Пусть х — любая точка множества Так как то число является положительным, причем — окрестности точек х и у

не пересекаются.

Поскольку система открытых множеств отвечающих всевозможным точкам х множества образует покрытие множества то из этой системы можно выделить конечную подсистему также образующую покрытие множества

Обозначим через соответствующую конечную подсистему -окрестностей точки у. Наименьшая из этих -окрестностей будет содержаться во всех множествах - и потому не будет иметь общих точек ни с одним из множеств Но тогда, поскольку подсистема образует покрытие множества указанная наименьшая -окрестность точки у не будет содержать точек множества т. е. будет целиком принадлежать дополнению D множества

Тем самым доказано, что множество D является открытым и потому множество является замкнутым.

Докажем теперь, что множество является ограниченным. Если бы это было не так, то нашлась бы последовательность не совпадающих друг с другом точек множества удовлетворяющая условию

Так как эта последовательность не имеет конечных предельных точек, то каждая точка имеет -окрестность свободную от других точек последовательности

Очевидно, что из бесконечной системы открытых множеств образующих покрытие множества точек нельзя

выбрать конечной подсистемы, образующей покрытие всех точек

Так как множество является подмножеством то тем более нельзя из всякой системы открытых множеств, образующих покрытие выделить конечную подсистему, также образующую покрытие Но это противоречит нашему предположению о множестве Полученное противоречие доказывает ограниченность множества

Заметим в заключение, что все введенные в этом параграфе понятия в более общей ситуации изучаются в дополнении 2 к гл. 12.