2. Основные свойства верхних и нижних сумм.

Докажем следующие леммы.

Лемма 1. Пусть интегральная сумма, отвечающая данному разбиению Тогда при любом выборе промежуточных точек всегда справедливы неравенства

где — соответственно нижняя и верхняя суммы, отвечающие тому же разбиению.

Доказательство. По определению чисел заключаем, что для любого из сегмента Умножая написанные неравенства на и суммируя по всем от 1 до получаем требуемое утверждение леммы.

Лемма 1. Пусть произвольное фиксированное разбиение сегмента — произвольное положительное число. Тогда можно выбрать промежуточные точки так, чтобы интегральная сумма и верхняя сумма удовлетворяли неравенству Промежуточные точки можно выбрать и таким образом, чтобы для интегральной суммы и нижней суммы выполнялись неравенства

Доказательство. Пусть — фиксированное разбиение сегмента Докажем сначала первое утверждение леммы. Поскольку то для выбранного нами найдется точка сегмента такая,что . Умножив эти неравенства на и просуммировав по всем от 1 до , получим

Аналогично в силу того, что существует - такая точка что

Последние неравенства после умножения на и суммирования приводят к оценкам

Лемма доказана.

Следствие. Для любого фиксированного разбиения справедливы следующие соотношения.

где тонные верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным промежуточным точкам.

Лемма 3. При измельчении данного разбиения верхняя сумма может только уменьшиться, а нижняя сумма — только увеличиться.

Доказательство. Пусть — данное разбиение, а разбиение получается из него добавлением только одной новой точки х. Легко видеть, что общий случай сводится к данному. Предположим, что х лежит внутри Тогда в выражении для слагаемое заменится на где

Точная верхняя грань функции на части сегмента не превосходит точной верхней грани функции на всем сегменте. Поэтому и

Так как все другие слагаемые в выражении для верхней суммы сохранятся, то мы доказали, что при добавлении точки х верхняя сумма может только уменьшиться. Случай, когда к данному разбиению добавляется несколько новых точек, сводится, очевидно, к рассмотренному. Точно так же устанавливается, что при измельчении данного разбиения нижняя сумма может только увеличиться. Лемма доказана.

Лемма 4. Для двух произвольных и, вообще говоря, различных разбиений сегмента нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхней суммы другого разбиения.

Доказательство. Пусть — два произвольных разбиения сегмента — верхние и нижние суммы этих разбиений соответственно. Обозначим через объединение разбиений а через и верхнюю и нижнюю суммы разбиения Заметим, что является измельчением

как разбиения так и разбиения Согласно утверждению леммы 3 справедливы неравенства

Кроме того, в силу леммы 1 получим, что Пользуясь свойством транзитивности для числовых неравенств и используя три подчеркнутых выше неравенства, заключаем, что Аналогично устанавливается, что Лемма доказана.

Следствие. Множество верхних сумм данной функции отвечающих всевозможным разбиениям сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Действительно, любая верхняя сумма не меньше некоторой, фиксированной нижней суммы, следовательно, множество верхних сумм ограничено снизу. Аналогично проводятся рассуждения для нижних сумм. В силу основной теоремы 2.1 из гл. 2 существуют точная нижняя грань множества и точная верхняя грань множества

Определение 2. Верхним интегралом Дарбу функции называется число I, равное точной нижней грани множества верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента Нижним интегралом Дарбу от функции называется число равное точной верхней грани множества нижних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента

Лемма 5. Нижний интеграл Дарбу всегда не превосходит верхнего интеграла Дарбу, т. е. 1.1.

Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим, что Тогда

Для указанного согласно определению числа найдется такое разбиение сегмента что для соответствующей верхней суммы будет выполнено неравенство Точна так же можно указать такое разбиение сегмента что для соответствующей нижней суммы будет выполнено неравенство Вычтем второе неравенство из первого. Получим е. Но поэтому Получившееся неравенство противоречит утверждению леммы 4. Таким образом, доказываемое утверждение справедливо, т. е.

Пусть — произвольное разбиение сегмента — диаметр этого разбиения. Обозначим через разбиение, полученное из разбиения путем добавления к нему произвольных новых точек. Пусть 5 и — верхняя и нижняя суммы разбиения и — верхняя и нижняя суммы разбиения Справедливо следующее утверждение.

Лемма 6. Для разностей выполняются следующие неравенства:

Доказательство. ограничивая общности, мы можем провести рассуждения лишь для случая, когда к точкам разбиения добавляется только одна новая точка х, и доказать, что этом случае справедливы неравенства

Пусть вновь добавляемая точка х лежит внутри сегмента Тогда верхняя сумма 5 будет отличаться от верхней суммы только тем, что одно слагаемое суммы 5 заменится двумя слагаемыми суммы (здесь через и М" обозначены точные верхние грани на сегментах соответственно).

Все остальные слагаемые у верхних сумм и будут общими. Отсюда следует, что

Из последнего соотношения, учитывая, что в силу свойств точных (Граней получим, что

Доказательство оценки для нижних сумм аналогично.

Лемма доказана.

Определение 3. Число А называется пределом верхних сумм при стремлении к нулю диаметра разбиений если для любого положительного числа можно указать положительное число такое, что при условии выполняется неравенство

Для обозначения указанного предела естественно употреблять символ

Аналогично определяется . В нижних сумме при стремлении к нулю.

Основная лемма Дарбу. Верхний интеграл Дарбу I является пределом верхних сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю, т. е. Аналогично

Доказательство. Проведем доказательство первого утверждения леммы. Заметим, что если функция то для любого разбиения. Поэтому Если функция непостоянна, то Фиксируем произвольное положительное число е. По определению числа I существует такое разбиение что верхняя сумма этого

разбиения будет удовлетворять условию Обозначим» через I число точек разбиения не совпадающих с концами сегмента

Пусть — произвольное разбиение сегмента диаметр которого удовлетворяет неравенству и пусть S — верхняя сумма этого разбиения. Произведем измельчение разбиения добавив к нему отмеченные выше I точек разбиения Полученное при этом разбиение обозначим символом По лемме 6 верхняя сумма этого последнего разбиения) удовлетворяет условию

Но разбиение можно рассматривать как измельчение разбиения к которому добавляются точки разбиения не совпадающие с концами сегмента Поэтому в силу определения I и леммы 3

Выше было показано, что поэтому Объединяя эти неравенства с установленными выше неравенствами получаем, что если только меньше указанного выше Следовательно, Для нижних сумм доказательство аналогично. Основная лемма Дарбу доказана.