§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

К интегралам от квадратичных иррациональностей естественно примыкают следующие интегралы:

подынтегральные функции которых содержат корень квадратный из многочленов третьей или четвертой степени (с вещественными коэффициентами).

Эти интегралы весьма часто встречаются в приложениях. Отметим сразу же, что интегралы (8.68) и (8.69), вообще говоря, не являются элементарными функциями.

Оба эти интеграла принято называть эллиптическими в тех случаях, когда они не выражаются через элементарные функции, и псевдоэллиптическими в тех случаях, когда они выражаются через элементарные функции

Ввиду важности для приложений интегралов (8.68) и (8.69) возникла необходимость составления таблиц и графиков функций, определяемых этими интегралами. При произвольных коэффициентах такие таблицы и графики составить очень трудно. Поэтому возникла задача о сведении всех интегралов вида (8.68) и (8.69) к нескольким типам интегралов, содержащих по возможности меньше произвольных коэффициентов (или, как говорят, о приведении интегралов (8.68) и (8.69) кканонической форме).

Прежде всего заметим, что интеграл (8.68) сводится к интегралу (8.69). В самом деле, кубичный трехчлен заведомо

имеет хотя бы один вещественный корень а поэтому его можно представить в виде

Сделав подстановку мы, как легко видеть, преобразуем интеграл (8.68) в (8.69).

Таким образом, нам достаточно рассмотреть лишь интеграл (8.69).

В силу п. 3 § 3 многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами

Всегда найдется некоторая линейная или дробно-линейная подстановка, уничтожающая у обоих квадратных трехчленов линейные члены. Сделав такую подстановку, мы с точностью до слагаемого, представляющего собой элементарную функцию, преобразуем интеграл (8.69) к виду

где — некоторая рациональная функция. Далее можно показать, что при любых комбинациях абсолютных значений и знаков постоянных может быть найдена замена, сводящая интеграл (8.70) к так называемому каноническому интегралу

в котором через обозначена постоянная, удовлетворяющая условию

Любой канонический интеграл (8.71) с точностью до слагаемого, представляющего собой элементарную функцию, может быть приведен к следующим трем стандартным интегралам:

и

Интегралы (8.72) принято называть эллиптическими интегралами соответственно рода. Каждый из этих интегралов, как показано Лиувиллем представляет собой неэлементарную функцию. Эллиптические интегралы рода содержат только один параметр, принимающий вещественные значения из интервала а эллиптический интеграл

3-го рода, кроме того, содержит параметр который может принимать и комплексные значения.

Лежандр подверг интегралы (8.72) дальнейшему упрощению, сделав замену помощью этой замены первый из интегралов (8.72) преобразуется к виду

При этой же замене второй из интегралов (8.73) с точностью до постоянного множителя равен разности интеграла (8.73) и следующего интеграла:

Третий из интегралов (8.72) преобразуется к виду

Интегралы (8.73), (8.74) и (8.75) принято называть эллиптическими интегралами соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода в форме Лежандра.

Особенно важную роль в приложениях играют интегралы (8.73) и (8.74). Если считать, что оба эти интеграла обращаются в нуль при то получатся две вполне определенные функции, которые обычно обозначают символами Для этих функций составлены обширные таблицы и графики. Лежандром и другими математиками изучены свойства этих функций, для них установлен ряд формул.

Наряду с элементарными функциями функции Е и прочно вошли в семейство функций, часто используемых в анализе. Здесь еще раз стоит отметить условность понятия элементарной функции. Вместе с тем следует подчеркнуть, что задачи интегрального исчисления вовсе не ограничиваются изучением функций, интегрируемых в элементарных функциях.