3. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной.

Теорема Лагранжа позволяет установить одно замечательное свойство производной. Начнем с доказательства следующей леммы.

Лемма. Пусть функция имеет конечную производную всюду на интервале [на интервале где — некоторое положительное число и, кроме того, имеет правую производную [левую производную Тогда, если производная имеет в точке с правый предел [левый предел].

то этот предел совпадает с правой производной левой производной

Доказательство. Из существования правой производной [левой производной вытекает существование конечного предела

Но это означает, что существует равный нулю предел

т. е. функция является непрерывной в точке с справа [слева].

Фиксируем любое х из интервала . Так как функция дифференцируема (а значит, и непрерывна) всюду на указанном интервале и, кроме того, непрерывна в точке с справа [слева], то для этой функции выполнены на сегменте [на сегменте все условия теоремы Лагранжа 6.4.

В силу этой теоремы между х и с найдется точка такая, что справедливо равенство

Перейдем теперь в равенстве (6.9) к пределу при [при Если производная имеет в точке с конечный правый предел [конечный левый предел то правая часть (6.9) обязана стремиться к этому пределу (ибо при

Тот же самый предел при обязана иметь и левая часть (6.9). Но предел левой части (6.9) при по определению равен правой производной [левой производной Лемма доказана.

Применяя только что доказанную лемму в каждой точке с некоторого интервала мы придем к следующему утверждению: если функция имеет конечную производную всюду на интервале то эта производная не может иметь на этом интервале ни точек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого рода.

В самом деле, если в некоторой точке с интервала существуют конечные правый и левый пределы функции то непрерывна в точке с (в силу доказанной нами леммы).

Если же не существует хотя бы одного из пределов то функция по определению имеет в точке с разрыв второго рода. Итак, производная в каждой точке с интервала либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода. Сформулированное нами утверждение доказано.

Приведем пример функции производная которой существует и конечна всюду на некотором интервале и имеет» в некоторой точке этого интервала разрыв второго рода.

Рассмотрим на интервале функцию

Очевидно, что для любого производная этой функции существует и равна Существование производной в точке непосредственно вытекает из существования предела

Производная не имеет в точке ни правого, ни левого пределов, ибо первое слагаемое имеет в точке равный нулю предел, а второе слагаемое не имеет в точке ни правого, ни левого пределов. (Это было доказано в примере, рассмотренном в § 5 гл. 4.)