§ 5. ПЕРВООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

В предыдущих параграфах уже достаточно полно изучены свойства интеграла Римана. В частности, было показано, что, пользуясь определением интеграла, можно вычислить интеграл от некоторых простейших функций. Однако такое вычисление интеграла с помощью предельного перехода в интегральных суммах обладает рядом неудобств и приводит к значительным трудностям. Поэтому на повестку дня встает вопрос о простых правилах вычисления определенного интеграла Римана. Ниже нами будет дано одно из таких правил вычисления определенного интеграла, а именно будет доказана основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона — Лейбница).

1. Первообразная.

Рассмотрим интегрируемую на сегменте функцию Пусть принадлежит Тогда для любого х из функция интегрируема на и поэтому на сегменте определена функция которая называется интегралом с переменным верхним пределом. Аналогично определяется функция на интервале при условии, что определена на интервале и интегрируема на любом сегменте, принадлежащем этому интервалу.

Теорема 9.5. Если функция интегрируема на сегменте любая точка этого сегмента, то производная функции существует в каждой точке непрерывности подынтегральной функции, причем

Доказательство. В силу непрерывности функции в точке для любого найдется такое что если Для всех t из выполняется неравенство Поэтому для всех таких t

Согласно свойству д) п. 2 § 4 (независимо от знака разности получим из последних неравенств

(Значение — не меняется при перестановке чисел так как при этом одновременно меняется знак у величины и у интеграла Но , следовательно, при

т. e. F(x) существует и равна Теорема доказана.

Следствие. Любая непрерывная на сегменте функция имеет на этом сегменте первообразную. Одной из первообразных является функция

Замечание 1. Теорема остается справедливой, если непрерывна на интервале . В этом случае в качестве нижнего предела надлежит взять любую точку этого интервала. Все рассуждения сохраняются.

Замечание 2. Можно рассматривать и функцию нижнего предела интеграла от т. е. функцию Для такой функции

Замечание 3. Если функция интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале то интеграл с переменным верхним пределом есть непрерывная на функция верхнего предела.

Действительно, пусть Тогда

где

по первой формуле среднего значения. Если функция интегрируема, то она ограничена, а поэтому для всех достаточно малых ограничена и величина зависящая от Более точно, Поэтому при

Замечание 4. Интегралы с переменным верхним (или нижним) пределом можно использовать для определения новых функций, не выражающихся через элементарные функции.

Так, например, интеграл как уже отмечалось, называется интегралом Пуассона, интеграл называется эллиптическим интегралом, интеграл интегральным синусом, - интегральным косинусом и т. д.