2. Понятие обратной функции.

Пусть функция задана на сегменте и пусть сегмент является множеством значений этой функции. Пусть, кроме того, каждому у из сегмента соответствует только одно значение х из сегмента для которого Тогда на сегменте определена функция, которая каждому у из ставит в соответствие то значение х из для которого Эта функция обозначается символом обратной для функций

В проведенных выше рассуждениях вместо сегментов можно было бы рассматривать интервалы или, например, случай, когда один или оба из этих интервалов превращаются в бесконечную прямую или открытую полупрямую.

Можно рассматривать и самый общий случай, когда задано отображение одного множества на другое множество причем отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств. Тогда можно определить обратное отображение множества на множество . В этом случае уравнение можно разрешить относительно х, т. е. можно однозначно определить х, зная элемент у, и мы имеем

Отметим, что если — обратная функция для то, очевидно, функция является обратной для функции Поэтому функции называются взаимно обратными. Очевидно, что

Приведем примеры взаимно обратных функций.

1. Пусть на сегменте задана функция Множеством значений этой функции будет сегмент Функция определенная на будет обратной к заданной функции

2. Рассмотрим на сегменте [0, 2] функцию Множество значений этой функции есть сегмент [0, 4]. На этом сегменте определена обратная к заданной функции функция

3. Рассмотрим на сегменте [0, 1] функцию

Нетрудно убедиться, что заданная на сегменте [0, 1] функция

будет обратной к заданной функции.

Докажем несколько утверждений о монотонных функциях.

Начнем с доказательства леммы, справедливой для любой монотонной (не обязательно строго монотонной) функции.

Лемма. Если функция является монотонной на сегменте то у нее существуют правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмента и, кроме того, существуют правый предел в точке а и левый предел в точке

Доказательство. Для полного доказательства леммы достаточно доказать два факта: 1) существование правого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам существование левого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам

Мы установим только первый из указанных двух фактов, ибо второй устанавливается аналогично.

При этом мы проведем все рассуждения для функции неубывающей на сегменте (ибо для невозрастающей функции они проводятся аналогично).

Итак, пусть функция не убывает на с — любая точка, удовлетворяющая неравенствам Рассмотрим множество всех значений функции для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенствам Это множество непусто (в силу того, что и ограничено снизу (в силу неубывания функции для всех х из полусегмента справедливо неравенство которое означает, что является нижней гранью рассматриваемого множества). По основной теореме 2.1 гл. 2 у рассматриваемого множества существует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом у. Докажем, что это число у и является правым пределом функции в точке с, т. е. докажем, что

Фиксируем произвольное По определению точной нижней грани найдется положительное число не превосходящее и такое, что значение функции удовлетворяет неравенству е.

Но тогда в силу неубывания функции для всех х из интервала и подавно будет справедливо неравенство Так как, кроме того, для всех х из указанного интервала справедливо неравенство то мы получим, что для всех х из интервала справедливы неравенства

а это и означает (в силу определения правого предела по Коши), что число является правым пределом в точке с. Лемма доказана.

Замечание к лемме. В предположениях леммы при условии неубывания для любых с их, удовлетворяющих соотношениям будут справедливы неравенства

а для любых с их, удовлетворяющих соотношениям будут справедливы неравенства

При условии невозрастания все знаки в неравенствах (4.1) и (4.2) следует заменить на противоположные.

Пусть, например, не убывает на Тогда Из последних неравенств сразу же вытекает, что Для завершения доказательства неравенств (4.1) следует убедиться в том, что для любого х из полуинтервала но это сразу вытекает из того, что число является, как доказано в лемме, точной нижней гранью множества значений на полу интервале Справедливость неравенств (4.2) проверяется аналогично.

Докажем теперь три. теоремы о строго монотонных функциях.

Теорема 4.3. Пусть функция возрастает (убывает) на сегменте и пусть Тогда, если множеством всех значений функции является сегмент (соответственно сегмент , то на этом последнем сегменте определена обратная для функция которая также возрастает (убывает) на указанном сегменте.

Доказательство. Проведем все рассуждения в предположении, что возрастает на сегменте (для убывающей функции рассуждения аналогичны).

Убедимся в том, что функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между сегментами Действительно, то, что каждому х из соответствует только одно значение у из , следует из самого понятия функции а то, что каждому у из соответствует только одно х из вытекает из возрастания функции

Убедимся теперь, что если возрастает на то и также возрастает на . Пусть где — любые два числа из . Тогда ибо из неравенства и из возрастания функции следовало бы, что что противоречит неравенству Теорема доказана.

Замечание 1. Совершенно аналогично доказывается более общее утверждение: пусть задана и возрастает (убывает) на некотором множестве множество всех значений этой функции. Тогда на множестве определена обратная для функция которая также возрастает (убывает) на указанном множестве

Теорема 4.4. Пусть функция возрастает (или убывает) на сегменте и пусть Тогда для того, чтобы функция являлась непрерывной на сегменте необходимо и достаточно, чтобы любое число у, заключенное между , было значением этой функции.

Доказательство. Все рассуждения проведем для возрастающей на сегменте функции, ибо для убывающей функции они аналогичны.

1) Необходимость. Пусть функция возрастает и непрерывна на сегменте Требуется доказать, что любое число у, удовлетворяющее условиям является значением функции в некоторой точке с сегмента

Пусть — множество всех значений х из сегмента для которых Это множество непусто (ему принадлежит, например, точка а, ибо и ограничено сверху (например, числом По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через с: Остается доказать, что

Сначала убедимся в том, что для всех х из лежащих левее с, и для всех х из лежащих правее с.

В самом деле, если то по определению точной верхней грани найдется х из полуинтервала принадлежащее множестцу т. е. такое, что Но тогда из возрастания будет вытекать, что и

Далее, любое х, лежащее правее с, не принадлежит множеству а потому для такого х справедливо неравенство

Теперь убедимся в том, что с является внутренней точкой сегмента Докажем, что Предположим, что это не так, т. е. допустим, что Возьмем любую сходящуюся к возрастающую последовательность точек сегмента Так как все ее элементы лежат левее с, то для всех номеров а поэтому (в силу теоремы 3.13 гл. 3) и Но так как функция непрерывна в точке то

Тем самым мы получаем неравенство которое противоречит условию Полученное противоречие доказывает, что

Совершенно аналогично доказывается, что

Итак, доказано, что с — внутренняя точка сегмента

Теперь для того, чтобы доказать, что рассмотрим две

сходящиеся к с с разных сторон последовательности точек сегмента возрастающую последовательность и убывающую последовательность . В силу того, что функция непрерывна в точке с,

С другой стороны, поскольку для любого номера то (для любого номера Но тогда в силу теоремы 3.13

Необходимость доказана.

2) Достаточность. Пусть функция возрастает на сегменте и пусть любое число у из сегмента является значением этой функции. Докажем, что функция непрерывна на сегменте . Достаточно доказать, что непрерывна справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям и непрерывна слева в любой точке с, удовлетворяющей условиям

Мы ограничимся доказательством непрерывности справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям ибо вторая часть утверждения доказывается аналогично.

Предположим, что функция не является непрерывной справа в некоторой точке с, удовлетворяющей условиям Тогда ее правый предел который существует согласно доказанной выше лемме, будет отличен от значения и поэтому справедливые в силу замечания к указанной лемме неравенства (4.1) примут вид

(для всех x из полуинтервала

Неравенства (4.2) означают, что содержащийся в интервал не содержит значений функции а это противоречит тому, что любое число у из сегмента является значением этой функции. Теорема 4.4 полностью доказана.

Теорема 4.5. Пусть функция возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте и пусть Тогда на сегменте (соответственно на сегменте определена обратная для функция которая возрастает (убывает) и непрерывна на указанном сегменте.

Кратко можно сказать, что из строгой монотонности и непрерывности на сегменте данной функции вытекают существование,

строгая монотонность и непрерывность на соответствующем сегменте обратной функции.

Доказательство. Проведем все рассуждения для возрастающей функции, ибо для убывающей функции они проводятся аналогично.

Так как возрастает и непрерывна на сегменте то в силу необходимости теоремы 4.4 множеством всех значений этой функции является сегмент . Но тогда теорема 4.3 обеспечивает существование на этом сегменте возрастающей обратной функции Остается доказать непрерывность указанной обратной функции на сегменте . Для этого достаточно учесть, что множеством всех значений обратной функции служит сегмент где и использовать для этой обратной функции достаточность теоремы 4.4. Доказательство теоремы 4.5 завершено.

Замечание 2. Можно показать, что из существования обратной функции для функции непрерывной на сегменте следует, что строго монотонна на этом сегменте (см. п. 2 § 6 настоящей главы).