§ 4. ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА

1. Первый замечательный предел.

Прежде всего докажем следующую теорему, представляющую собой функциональный аналог теоремы 3.14.

Теорема 4.6 (функциональный аналог принципа двустороннего ограничения). Пусть в некоторой проколотой -окрестности точки а заданы три функции две из которых имеют в точке а общий предел, равный Тогда если всюду в указанной проколотой -окрестности точки а справедливы неравенства

то и функция имеет в точке а предел, равный

Доказательство. Пусть — произвольная, сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. Тогда, с одной стороны, в силу определения предела по Гейне, обе последовательности соответствующих значений функций сходятся к а с другой стороны, в силу (4.17), для всех номеров справедливы неравенства

В силу теоремы 3.14 мы можем утверждать, что последовательность также сходится к а это и означает, что число является пределом функции в точке а.

Теорема доказана.

Теорема 4.7. Предел функции в точке существует и равен единице, т. е.

Доказательство. Будем отправляться от неравенств

указанных в п. 4 § 3. Посредством деления на мы получим из (4.18) следующие неравенства:

Для обратных величин, очевидно, справедливы обратные неравенства

Заметим, что из того, что неравенства (4.19) справедливы при вытекает, что эти неравенства справедливы и при ибо при замене х на все три функции не меняют своих значении.

Таким образом, неравенства (4.19) справедливы для всех значений х из интервала исключением точки

т. е. справедливы всюду в проколотой -окрестности точки Так как, кроме того, обе функции имеют в точке равный единице предел, то в силу теоремы 4.6 и функция имеет в точке предел, равный единице. Теорема доказана.