5. Сходимость. Непрерывные отображения.

Определение 11. Последовательность точек метрического пространства называётся сходящейся к точке а-этого пространства, если любая окрестность точки а содержит все элементы этой последовательности, за исключением конечного их числа. Если последовательность сходится к пишут при или

Непосредственно из данного определения следует, что если .

Лемма 3. Точка а метрического пространства X принадлежит замыканию А некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества А, сходящаяся к а.

Доказательство. Пусть тогда а принадлежит каждому замкнутому множеству, содержащему А. Возьмем в качестве окрестности точки а шар — натуральное. В этом шаре имеется по крайней мере одна точка Если бы это было не так, то и существовала бы окрестность точки а, свободная от точек множества А. Дополнение до этой окрестности было бы замкнутым множеством, содержащим множество А, и точка а не принадлежала бы этому замкнутому множеству. Таким образом, получилось противоречие условию следовательно, мы построили последовательность точек при Заметим, что данная последовательность может оказаться стационарной, т. е. такой, что все

Верно и обратное: если то

Для этого заметим, что если любая окрестность точки а

пересекается с А, то Действительно, если то Если то, допустив, что и взяв дополнение множества А, получим окрестность точки а — множество , не пересекающееся с А, т. е. получим противоречие.

Доказательство леммы теперь завершается так. Нам дано, что Следовательно, любая окрестность точкц а содержит точки множества А. По сказанному что и требовалось.

Одновременно нами доказано следующее утверждение.

Утверждение. Точка а принадлежит замыканию множества А в том и только том случае, если каждая окрестности точки а пересекается с А.

В гл. 4 было подробно изучено понятие непрерывности функции числового аргумента. Оказывается, что это понятие допускает естественное обобщение на случай, когда задана уже не обычная функция числового аргумента, а отображение одного метрического пространства в другое. Введем понятие непрерывного отображения.

Определение 12. Отображение одного метрического пространства в другое называется непрерывным в точке х, если для каждой окрестности точки найдется такая окрестность точки х, что Если непрерывно в каждой точке пространства X, то такое отображение называется непрерывным на X.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Отображение одного метрического пространства X в другое непрерывно на X тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт.

Доказательство. Необходимость. Пусть — непрерывное отображение X в — открытое множество в Если то открытость очевидна, так как открыто.

Пусть Так как то следовательно, можно рассматривать как окрестность точки Ввиду того, что — непрерывное отображение на X (а значит, и в точке найдется окрестность точки х такая, что Итак, для любой точки найдется окрестность такая, что

Поскольку то множество 2 открыто как объединение открытых множеств Таким образом, прообраз любого открытого множества открыт.

Достаточность. Пусть дано, что при отображении прообраз любого открытого множества открыт. Возьмем любую точку и произвольную окрестность ее образа в Тогда по условию — открытое множество в X,

т. е. является окрестностью точки х, причем образ 2 при отображении содержится в Следовательно, отображение по определению непрерывно в точке х. Поскольку эти рассуждения применимы, для любой точки то отображение непрерывно на X и лемма доказана.

Учитывая, что шар является открытым множеством и всякое открытое множество содержит любую свою точку вместе с некоторым шаром, можно определение 12 непрерывности отображения в точке переформулировать следующим образом.

Определение 13. Отображение одного метрического пространства в другое называется непрерывным в точке х, если для любого числа существует такое число что если точка у принадлежит открытому шару с центром в точке х радиуса то точка принадлежит открытому шару с центром в точке радиуса лежащему в пространстве

Последнее определение можно переформулировать также следующим образом: отображение непрерывно в точке х, если

Из неравенства треугольника легко заключаем, что функция расстояния непрерывна в точке х при фиксированном у. На самом деле она является непрерывной функцией и по двум переменным

В случае, если метрическое пространство X есть числовая ось с обычным расстоянием между числами, т. е. пространство , а отображение — обычная скалярная функция на данное определение 13 непрерывности, очевидно, совпадает с определениями гл. 4.

Введем понятие гомеоморфизма.

Определение 14. Отображение метрического пространства X в метрическое пространство называется гомеоморфизмом, если отображает X на взаимно однозначно и непрерывно вместе с обратным отображением