3. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции перпендикулярными к оси прямыми и отрезком оси между точками а и b (рис. 10.1).

Справедливо следующее

Утверждение. Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру площадь которой вычисляется по формуле

Доказательство. Непрерывная на сегменте функция интегрируема, поэтому для любого положительного числа можно указать такое разбиение сегмента для которого разность между верхней суммой 5 и нижней суммой будет меньше е. Но и равны соответственно где — площади многоугольных фигур, первая из которых содержит криволинейную трапецию, а вторая содержится в криволинейной трапеции (на рис. 10.1 изображены также и

Рис. 10.1

Рис. 10.2

указанные многоугольные фигуры). Таким образом, и в силу теоремы 10.2 криволинейная трапеция квадрируема. Поскольку для любой интегрируемой функции предел при стремлении диаметра разбиения к нулю как верхних 5, так и нижних сумм равен то площадь криволинейной трапеции находится по формуле (10.28).

Замечание. Если функция непрерывна и неположительна на сегменте то значение интеграла равно взятой с отрицательным знаком площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ординатами в точках а и и отрезком оси между точками а и Поэтому если меняет знак, то равен сумме взятых с определенным знаком площадей криволинейных трапеций, расположенных выше и ниже оси причем площади первых берутся; со знаком а вторых — со знаком

Перейдем теперь к рассмотрению площади так называемого криволинейного сектора. Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением (рис. 10.2), причем функция непрерывна и неотрицательна на сегменте .

Назовем криволинейным сектором плоскую фигуру, ограниченную кривой и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы .

Докажем следующее

Утверждение. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру площадь которой может быть вычислена по формуле

Доказательство. Рассмотрим разбиение сегмента точками и для каждого частичного сегмента построим круговые секторы, радиусы которых, равны минимальному и максимальному значениям функции на сегменте . В результате получатся две квадрируемые фигуры, первая фигура А содержится в криволинейною секторе, а вторая В содержит этот сектор (см. рис. 10.2).

Площади и указанных квадрируемых фигур А и В соответственно равны

Обратим внимание на то, что первая из этих сумм является нижней суммой а вторая — верхней суммой S функции на сегменте для указанного разбиения этого сегмента. Так как непрерывная на функция интегрируема на этом сегменте, то для любого найдется разбиение, для которого разность меньше .

Так как А и В — две квадрируемые фигуры, первая из которых содержится в криволинейном секторе а вторая содержит то в силу теоремы 10.2 криволинейный сектор квадрируем.

Справедливость для его площади формулы (10.29) вытекает из того, что эта площадь заключена между а обе суммы и 5 стремятся к интегралу, стоящему в правой части (10.29), при стремлении диаметра разбиения к нулю.