§ 6. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

К локальным свойствам относятся те свойства функции, которые справедливы в сколь угодно малой окрестности фиксированной точки области определения функции. Эти свойства характеризуют поведение функции при стремлении аргумента к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точке области ее определения является локальным свойством этой функции.

Глобальные свойства — это свойства, связанные со всей областью определения функции. Например, монотонность функции на сегменте является ее глобальным свойством.

1. Локальные свойства непрерывных функций.

Введем новые понятия. Предположим, что функция задана на множестве

Доопределение 1. Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве если существует такое вещественное число М (вещественное число что для всех значений аргумента х из множества справедливо неравенство При этом число М (число ) называется верхней (нижней) гранью функции на множестве

Определение 2. Функция называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной) на множестве если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу, т. е. если найдутся такие вещественные числа и М, что для всех значений аргумента х из множества справедливы неравенства .

Таким образом, ограниченность функции на множестве фактически означает ограниченность множества всех значений этой функции (отвечающих значениям аргумента из множества

Примеры. 1) Функция рассматриваемая на интервале ограничена на этом интервале снизу (в качестве нижней грани можно взять число а сверху не ограничена.

2) Функция Дирихле равная нулю в иррациональных точках и единице в рациональных точках, ограничена (с обеих сторон) на любом множестве

Справедлива следующая теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечное предельное значение.

Теорема 4.10 (о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел). Пусть функция задана на множестве и имеет конечное предельное значение в точке а. Тогда существует такое положительное число что функция ограничена на множестве представляющем собой пересечение множества с интервалом , т. е. с -окрестностью точки а.

Замечание 1. Если множество задания функции сплошь покрывает некоторую -окрестность точки а, то в качестве можно взять сам интервал

Доказательство. Пусть предел в точке а равен В силу определения предела по Коши для некоторого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента х из проколотой -окрестности точки а справедливо неравенство или

Если множество задания функции не содержит точку а, то теорема доказана, ибо в этом случае неравенства (4.26) означают, что для всех точек множества значения функции заключены между числами в.

Если же множество задания функции содержит точку а и этой точке отвечает некоторое значение функции , то, обозначив через наименьшее из двух чисел , а через М наибольшее из двух чисел мы получим, что для всех точек множества будут справедливы неравенства

которые и означают ограниченность на множестве Теорема доказана.

Иллюстрацией к доказанной теореме может служить рис. 4.22.

Следствие из теоремы 4.10. Если функция непрерывна в точке а, то эта функция ограничена на множестве всех значений ее аргумента, принадлежащих некоторой -окрестности точки а.

Достаточно заметить, что непрерывная в точке а функция имеет в этой точке конечное предельное значение.

Теорема 4.11 (об устойчивости знака непрерывной в точке функции). Пусть функция задана на множестве непрерывна в точке а этого множества и ее значение положительно [отрицательно]. Тогда существует такое положительное число что функция является положительной [отрицательной] всюду на множестве представляющем собой пересечение множества с -окрестностью точки а.

Рис. 4.22

Рис. 4.23

Замечание 2. Если множество задания функции сплошь покрывает некоторую -окрестность точки а, то в качестве можно взять саму -окрестность точки а.

Доказательство. В силу определения непрерывности по Коши для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для всех значений аргумента х из -окрестности точки а справедливо неравенство

или

Если взять в качестве положительное число то числа будут положительны при и отрицательны при

Поэтому неравенства (4.28) будут означать, что для всех значений аргумента из -окрестности точки а функция является положительной при и отрицательной при . Теорема доказана.

Иллюстрацией к теореме 4.11 может служить рис. 4.23. Теорему 4.11 легко переформулировать на случай, когда функция непрерывна в точке и только справа или только слева.

Договоримся называть полусегмент правой -полуокрестностью точки а, а полусегмент — левой -полуокрестностью точки а.

Теорема 4.11. Пусть функция задана на множестве непрерывна в точке а этого множества справа [слева] и ее значение не равно нулю. Тогда найдется такое положительное число что функция не обращается в нуль и имеет тот же знак, что и в точке а, для всех значений х из множества принадлежащих правой [левой] -полуокрестности точки а.

Для доказательства этой теоремы следует дословно повторить доказательство теоремы 4.11 с заменой термина -окрестность точки а» термином «правая [левая] -полуокрестность точки а».

Замечание 3. К числу локальных свойств непрерывных в данной точке функций следует отнести доказанные выше теоремы 4.1 и 4.2 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных в данной точке функций и о непрерывности сложной функции.