2. Достаточные условия локального экстремума функции m переменных.

При формулировке достаточных условий локального экстремума функции переменных важную роль будет играть второй дифференциал этой функции в обследуемой точке

2 § 5 настоящей главы мы убедились в том, что для случая, когда аргументы два раза дифференцируемой функции являются либо независимыми переменными, либо линейными функциями некоторых независимых переменных, второй дифференциал этой фунвдии в данной точке представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов следующего вида:

где

Для формулировки достаточных условий локального экстремума нам понадобятся некоторые сведения из теории квадратичных форм, которые мы для удобства читателя приводим ниже.

Квадратичная форма относительно переменных

называется положительно определенной [отрицательно определенной], если для любых значений одновременно не равных нулю, эта форма принимает строго положительные [строго отрицательные] значения.

Квадратичная форма (12.71) называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной.

Квадратичная форма (12.71) называется знакопеременной, если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения.

Квадратичная форма (12.71) называется квазизнакоопределенной, если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль для некоторых значений одновременно не равных нулю.

Сформулируем так называемый критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

Назовем матрицей квадратичной формы (12.71) следующую матрицу:

Если все элементы матрицы А удовлетворяют условию то указанная матрица называется симметричной.

Назовем главными минорами симметричной матрицы (12.72) следующие определители:

Критерий Сильвестра формулируется в виде следующих двух утверждений.

1°. Для того чтобы квадратичная форма (12.71) с симметричной матрицей (12.72) являлась положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (12.72) были положительны, т. е. чтобы были справедливы неравенства

2°. Для того чтобы квадратичная форма (12.71) с симметричной матрицей (12.72) являлась отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы (12.72) чередовались, причем знак был отрицателен, т. е. чтобы были справедливы неравенства

Теперь мы подготовлены для того, чтобы сформулировать и доказать теорему, устанавливающую достаточные условия локального экстремума.

Теорема 12.16. Пусть функция переменных один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки и два раза дифференцируема в самой точке Пусть, кроме того, точка является стационарной

точкой функции Тогда если второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой положительно определенную [отрицательно определенную] квадратичную форму от переменных то функция имеет в точке локальный минимум [локальный максимум]. Если же второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой знакопеременную квадратичную форму, то функция не имеет локального экстремума в точке

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы, предполагая ради определенности, что второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой положительно определенную квадратичную форму от переменных Докажем, что в этом случае функция имеет в точке локальный минимум.

Разложим функцию в окрестности точки по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, беря в этой формуле Мы получим при этом, что

причем в равенстве (12.73) дифференциалы переменных входящие в выражение для равны соответствующим приращениям эти переменных, а величина равна

По условию теоремы точка является стационарной. Поэтому на основании результатов предыдущего пункта Учитывая это равенство и полагая в выражениях (12.69), (12.70) для второго дифференциала мы придадим формуле Тейлора (12.73) следующий вид:

Достаточно доказать, что для всех достаточно малых правая часть (12.75) положительна. (Это и будет означать, что в достаточной малой окрестности точки разность положительна, т. е. функция имеет в точке локальный минимум.)

Положим где . Тогда из выражения (12.74) для вытекают следующие соотношения:

С помощью введенных обозначений равенство (12.75) может быть» переписано в виде

Отношение представляет собой бесконечно малую при (или при функцию, которую мы обозначим через Введение этой функции позволяет нам записать равенство с помощью которого мы придадим соотношению (12.75 вид

Теперь уже нетрудно доказать, что правая часть (12.75 является положительной для всех достаточно малых . Квадратичная форма представляет собой функцию, определенную и непрерывную на поверхности единичной сферы представляющей собой замкнутое и ограниченное множество. По второй теореме Вейерштрасса (см. теорему 12.7 из п. 3 § 3) эта, функция достигает на указанном множестве своей точной нижней грани причем из положительной определенности квадратичной формы (12.71) и из того, что удовлетворяющие соотношению (12.76), не равны одновременно нулю, вытекает, что указанная точная нижняя грань строго положительна.

Так как бесконечно малая при функция при всех достаточно малых удовлетворяет неравенству то всяч правая часть (12.75 является положительной при всех достаточно малых , т. е. при всех М, достаточно близких к

Это и означает, что функция имеет в точке локальный минимум.

Совершенно аналогично доказывается, что в случае, когда второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой отрицательно определенную квадратичную форму, функция имеет в точке локальный максимум.

Докажем теперь вторую часть теоремы, т. е. докажем, что в; случае, когда второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет

собой знакопеременную квадратичную форму, функция не имеет локального экстремума в точке

Прежде всего установим следующее свойство знакопеременной квадратичной формы (12.71):

Если квадратичная форма знакопеременна, найдутся две совокупности переменных такие, что

причем

В самом деле, в силу определения знакопеременной квадратичной формы найдутся две совокупности аргументов состоящие из чисел, одновременно не равных нулю, и такие, что

Положив

учитывая, что из определения (12.71) квадратичной формы же вытекает, что

мы получим (в силу (12.79)) неравенства (12.78), причем из соотношений (12.80) сразу же вытекают равенства (12.77).

Зафиксируем две совокупности переменных удовлетворяющие соотношениям (12.77) и (12.78), и докажем, что для любого найдутся две точки пространства такие, что причем

В самом деле, положив для любого и для каждого номера

мы удовлетворим соотношениям (12.81), причем в силу равенств; (12.77) будут справедливы равенства

Теперь уже нетрудно убедиться в том, что для случая, когда второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой знакопеременную квадратичную форму, функция не имеет экстремума в точке

Записывая для функции разложение в окрестности точки по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и беря это разложение в указанных выше точках М и мы получим вместо (12.75) следующие два разложения:

справедливые для всех достаточно малых

Подставляя в эти разложения значения из равенств (12.81) и учитывая, что где при мы придадим разложениям (12.82) и (12.83) следующий, вид:

Последние два соотношения можно также переписать в виде

Учитывая соотношения (12.78) и тот факт, что величины не зависят от , и вспоминая, что мы получим из соотношений (12.82 и (12.83, что для достаточно малого справедливы неравенства которые и доказывают отсутствие экстремума в точке

Теорема 12.16 полностью доказана.

Замечание. Если второй дифференциал два раза дифференцируемой в данной стационарной точке функции предоставляет собой в этой точке квазизнакоопределенную квадратичную форму, то нельзя сказать ничего определенного о наличии или отсутствии в этой точке локального экстремума.

Так, например, у каждой из двух функций второй дифференциал в стационарной точке тождественно равен нулю (т. е. представляет собой квазизнакоопределенную квадратичную форму), но только одна вторая из указанных двух функций имеет в этой точке локальный экстремум.

Для решения вопроса о локальном экстремуме для случая, когда второй дифференциал представляет собой квазизнакоопределенную квадратичную форму, следует привлечь дифференциалы более высоких порядков, но это выходит за рамки нашего курса.

Пример. Найти точки локального экстремума функции трех переменных

где К — вещественное число, отличное от нуля.

Так как то единственной стационарной точкой является точка

Далее очевидно, что второй дифференциал в этой точке имеет

При второй дифференциал в точке представляет собой положительно определенную квадратичную форму и потому функция (12.84) имеет в точке локальный минимум.

При указанный второй дифференциал представляет собой знакопеременную квадратичную форму, и потому функция (12.84) не имеет локального экстремума в точке