3. Предел функции m переменных.

Рассмотрим функцию определенную на множество точек -мерного евклидова пространства и точку А пространства быть может и не принадлежащую множеству но обладающую тем свойством, что в любой -окрестности этой точки А содержится хотя бы одна точка множества отличная от

Определение 1 (предел функции в точке А по Гейне). Число b называется пределом (или предельным значением) функции в точке А (или при если для любой сходящейся к А последовательности точек множества задания этой функции, все элементы которой отличны от А, соответствующая числовая последовательность значений функции сходится к числу

Определение 1 (предел функции в точке А до Коши). Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции в точке А (или при если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любой точки М из множества задания этой функции, удовлетворяющей условию справедливо неравенство

Для обозначения предела функции в точке Л используется следующая символика:

(Здесь — координаты точки А.)

Доказательство эквивалентности определения 1 и 1 проводится точно так же, как и для функции одной переменной. Следует лишь в рассуждениях теоремы 3.19 (см. п. 2 § 4 гл. 3) заменить последовательность последовательностью точек точку а — точкой разности — расстояниями соответственно, а числовую последовательность заменить числовой последовательностью

Введем теперь понятие предела функции при Для этого предположим, что множество на котором задана функция для любого имеет хотя бы один элемент М, лежащий вне шара радиуса с центром в точке

Ограничимся определением соответствующего предела функции по Коши.

Определение 2. Число Ь называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек М из множества задания функции, удовлетворяющих условию справедливо неравенство .

Для обозначения предела функции при используется символ

Так же, как и для функции одной переменной, легко убедиться в том, что арифметические операции над функциями переменных, имеющими предел в данной точке А [или при приводят к функциям, также имеющим предел в точке А [соответственно при

Сформулируем соответствующее утверждение для случая предела в точке А.

Пусть две функции заданы на одном и том же множестве и имеют в точке А пределы, соответственно

равные b и с. Тогда функции имеют в точке А пределы, соответственно равные случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы с было отлично от нуля).

Доказательство этого утверждения совершенно аналогично доказательству теоремы 3.21 (см. § 4 гл. 3), только вместо определения по Гейне предела функции одной переменной следует использовать определение по Гейне предела функции переменных.

Установим теперь критерий Коши существования предела функции переменных.

Определение 3. Будем говорить, что функция переменных удовлетворяет условию Коши в точке [соответственно при если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любых двух точек М и М" из множества задания функции, удовлетворяющих условиям [соответственно условиям справедливо неравенство

Теорема 12.2 (критерий Коши существования предела функции переменных). Для того чтобы функция имела конечный предел в точке [при, необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке [при ] условию Коши.

Доказательство этой теоремы полностью идентично доказательству теоремы 3.20 (см. § 4 гл. 3) и может быть получено из него формальной заменой букв х и а буквами и выражений типа символом .

Весьма полезно заметить, что определение предела функции переменных в точке А и при укладывается в общее определение предела по базе, введенное в § 5 гл. 3.

Рассмотрим сначала предел функции в точке А.

Договоримся называть проколотой -окрестностью точки А открытый -мерный шар радиуса с центром в точке А, из которого удалена сама точка А.

Подчеркнем, что задана на таком множестве которое для любого имеет хотя бы одну точку М, лежащую в проколотой -окрестности точки А.

Обозначим символом проколотую -окрестность точки А и положим Очевидно, совокупность множеств при всех образует базу множества ибо каждое множество (при любом не является пустым и пересечение любых двух множеств совокупности представляет собой множество той же совокупности.

Эту базу естественно обозначить символом ибо, как легко проверить, определение предела по такой базе совпадает

с определением 1 предела функции в точке А по Коши.

Для случая предела функции при эта функция должна быть задана на таком множестве которое для любого имеет хотя бы одну точку М, удовлетворяющую условию где О — точка с координатами

Обозначим символом множество всех точек М пространства удовлетворяющих условию и положим Легко проверить, что совокупность множеств при всех образует базу множества ибо каждое множество не является пустым и пересечение любых двух множеств совокупности представляет собой множество той же совокупности.

Эту базу естественно обозначить символом ибо, как легко проверить, определение предела по такой базе совпадает с определением 2 предела функции при

В заключение отметим, что теорема 12.2 (т. е. критерий Коши существования предела функции в точке А и при М-уоо) вытекает как частный случай из теоремы 3.22, устанавливающей критерий Коши существования общего предела функции по базе.