слева от с и отрицательна (положительна) справа от с. Требуется доказать, что значение 
является наибольшим (наименьшим) среди всех значений 
в рассматриваемой окрестности. Обозначим через 
любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности, отличное от с. Достаточно доказать, что
Так как функция 
дифференцируема всюду в рассматриваемой окрестности точки с, то на сегменте, ограниченном точками с и 
для функции 
выполнены все условия теоремы 6.4 Лагранжа. В силу этой теоремы
где 
— некоторое значение аргумента между с и 
Поскольку производная 
положительна (отрицательна) при 
и отрицательна (положительна) при 
правая часть (7.1) положительна (отрицательна).
2) Пусть теперь производная 
имеет один и тот же знак слева и справа от с. Обозначая, как и выше, через 
любое значение аргумента, отличное от с, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы теперь докажем, что правая часть (7.1) имеет разные знаки при 
и при 
Это доказывает отсутствие экстремума в точке с.
Вытекающее из теоремы 7.1 правило можно кратко сформулировать так: 1) если при переходе через данную стационарную точку с производная 
меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция 
имеет в точке с локальный максимум (минимум); 2) если же при переходе через данную стационарную точку с производная 
не меняет знака, то экстремума в точке с нет.
Примеры. 1) Найти точки экстремума функции 
Поскольку 
то функция 
имеет две стацйонарные точки: 
При переходе через точку 
производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку 
с минуса на плюс. Следовательно, 
— точка локального максимума, а 
— точка локального минимума (см. рис. 7.1).
2) Найти точки экстремума функции 
Производная 
обращается в нуль в единственной точке 
Так как 
положительна как слева, так и справа от этой точки, то функция 
не имеет точек экстремума. График функции 
изображен на рис. 7.2.
Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной 
слева и справа от стационарной точки. На этот случай мы укажем другое достаточное условие экстремума в данной стационарной точке с, не требующее исследования знака
в окрестности с, но зато предполагающее существование в точке с отличной от нуля конечной второй производной 
дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, и пусть тачка с является стационарной точкой функции 
Тогда если в пределах указанной окрестности 
положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (положительна) справа от точки с, то функция 
имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если же в пределах указанной окрестности точки с производная 
имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.
в пределах рассматриваемой окрестности положительна (отрицательна)
