3. Первое достаточное условие экстремума.

Теорема 7.1. Пусть функция дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, и пусть тачка с является стационарной точкой функции Тогда если в пределах указанной окрестности производная положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (положительна) справа от точки с, то функция имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если же в пределах указанной окрестности точки с производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.

Доказательство. 1) Пусть сначала производная в пределах рассматриваемой окрестности положительна (отрицательна)

слева от с и отрицательна (положительна) справа от с. Требуется доказать, что значение является наибольшим (наименьшим) среди всех значений в рассматриваемой окрестности. Обозначим через любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности, отличное от с. Достаточно доказать, что

Так как функция дифференцируема всюду в рассматриваемой окрестности точки с, то на сегменте, ограниченном точками с и для функции выполнены все условия теоремы 6.4 Лагранжа. В силу этой теоремы

где — некоторое значение аргумента между с и Поскольку производная положительна (отрицательна) при и отрицательна (положительна) при правая часть (7.1) положительна (отрицательна).

2) Пусть теперь производная имеет один и тот же знак слева и справа от с. Обозначая, как и выше, через любое значение аргумента, отличное от с, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы теперь докажем, что правая часть (7.1) имеет разные знаки при и при Это доказывает отсутствие экстремума в точке с.

Вытекающее из теоремы 7.1 правило можно кратко сформулировать так: 1) если при переходе через данную стационарную точку с производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция имеет в точке с локальный максимум (минимум); 2) если же при переходе через данную стационарную точку с производная не меняет знака, то экстремума в точке с нет.

Примеры. 1) Найти точки экстремума функции Поскольку то функция имеет две стацйонарные точки: При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку с минуса на плюс. Следовательно, — точка локального максимума, а — точка локального минимума (см. рис. 7.1).

2) Найти точки экстремума функции Производная обращается в нуль в единственной точке Так как положительна как слева, так и справа от этой точки, то функция не имеет точек экстремума. График функции изображен на рис. 7.2.

Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной слева и справа от стационарной точки. На этот случай мы укажем другое достаточное условие экстремума в данной стационарной точке с, не требующее исследования знака

в окрестности с, но зато предполагающее существование в точке с отличной от нуля конечной второй производной