5. Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функциях.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы в общем виде решить проблему об интегрировании рациональной дроби с вещественными коэффициентами.
Прежде всего отметим, что эта проблема сводится к проблеме интегрирования только правильной рациональной дроби, ибо всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель «столбиком») представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби.
Пример. 
ибо
Интегрировать многочлен мы умеем (напомним, что неопределенный интеграл от многочлена представляет собой некоторый многочлен степени, на единицу более высокой). Остается научиться интегрировать правильную рациональную дробь. В силу теоремы 8.4 проблема интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:
Здесь 
— некоторые вещественные
ственные числа, причем трехчлен 
не имеет вещественных корней, т. е. 
Докажем, что каждая из четырех указанных дробей интегрируема в элементарных функциях.
Дроби вида I и II элементарно интегрируются при помощи подстановки 
Мы получим
Для вычисления интеграла от дроби вида III представим квадратный трехчлен в виде 
учитывая, что 
введем в рассмотрение вещественную постоянную 
Сделав подстановку 
будем иметь
Остается вычислить интеграл от дроби вида IV. Используя введенные выше обозначения 
будем иметь
Введем обозначения
Интересующий нас интеграл будет вычислен, если будут вычислены интегралы 
Интеграл I берется элементарно:
Интеграл 
вычислен нами в примере 6 в конце § 2 настоящей главы. Там мы получили для этого интеграла рекуррентную формулу (3.12), позволяющую последовательно вычислить 
для любого 
опираясь на то, что
Итак, нами вычислены интегралы от всех четырех простейших дробей (8.54) и доказано, что каждый из этих интегралов представляет собой элементарную функцию. Тем самым мы приходим к следующей теореме, исчерпывающей проблему интегрирования рациональной дроби.
Теорема 8.5. Всякая рациональная дробь с вещественными коэффициентами интегрируема в элементарных функциях.
В заключение этого параграфа мы остановимся на примерах вычисления неопределенных интегралов от рациональных дробей. Вычислим неопределенные интегралы от трех дробей, рассмотренных в предыдущем параграфе, (8.49), (8.50) и 
Пользуясь указанными тремя формулами, а также формулами (8.55) — (8.57), будем иметь:
