4. Свойства операций над множествами. Отображение множеств.

Отметим ряд свойств, введенных выше операций над множествами. Отношение включения двух множеств обладает следующими свойствами:

Операции суммы (объединения) и пересечения множеств обладают следующими, непосредственно проверяемыми свойствами:

(дистрибутивность пересечения);

(дистрибутивность объединения);

эквивалентно условиям или

Напомним, что для подмножеств некоторого фиксированного множества Е мы ввели операцию дополнения Очевидно эта операция удовлетворяет следующим свойствам:

Последние два свойства суть правила де Моргана. Симметрической разностью двух множеств А и В назовем множество . Симметрическая разность множеств А и В обозначается символом Легко видеть, что

Важнейшим понятием в анализе является понятие отображения одного множества в другое. Пусть X и множества. Если в силу некоторого закона каждому элементу соответствует элемент говорят, что задано отображение множества X в множество Записывают этот факт в виде

В этом случае элемент называют образом элемента х или значением на элементе х, а элемент х — прообразом или одним из прообразов элемента у. Часто элемент называют переменным или аргументом отображения

Образом множества при отображении называют множество всех таких элементов из У, которые являются образами элементов . Это множество обозначается символом . Если то прообразом (или полным прообразом) множества В называют совокупность всех элементов таких, что Прообраз множества В обозначается символом .

Отображение иногда удобно называть функцией с областью определения X и областью (или множеством) значений . В некоторых разделах математики в зависимости от природы множеств X и и свойств отображение называется оператором, функционалом и т. д.

Про отображение говорят, что оно сюръективно (или является отображением X на Y), если инъективно (или является вложением), если для любых элементов множества X из условия вытекает, что т. е. различные элементы имеют различные образы; биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъективно одновременно. Если отображение биективно, то, как мы отмечали в множества X и Y называются эквивалентными (или равномощными). В случае биекции можно определить обратное отображение по правилу: если при отображении элементу соответствует элемент то полагается равным элементу х. Для любого в силу сюръективности отображения элемент всегда существует, а ввиду инъективности отображения этот элемент единственен.