все условия п. 3 § 5 гл. 9, при которых действует формула замены переменной под знаком определенного интеграла. Поэтому имеет место равенство
В силу строгой монотонности функции
при
и, обратно,
при
Поэтому из формулы (9.1.11) вытекает справедливость сформулированного выше утверждения.
Перейдем теперь к вопросу об интегрировании по частям несобственных интегралов первого рода.
Докажем следующее
Утверждение. Пусть функции
имеют непрерывные производные на полупрямой
и, кроме того, существует предельное значение
При этих условиях из сходимости одного из интегралов
вытекает сходимость другого из этих интегралов и справедливость формулы
Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим произвольный сегмент
. На этом сегменте действует обычная формула интегрирования по частям. Поэтому
Так как при
выражение
стремится к
то из последнего равенства следует одновременная сходимость или расходимость интегралов (9.1.12) и справедливость формулы (9.1.13) в случае сходимости одного из интегралов (9.1.12).