4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям.

В этом пункте мы сформулируем условия, при которых действуют формулы замены переменных и интегрирования по частям для несобственных интегралов первого рода. Рассмотрим сначала вопрос о замене переменной под знаком несобственного интеграла.

Мы будем предполагать выполненными следующие условия:

1) функция непрерывна на полуоси полуось является множеством значений некоторой строго монотонной функции заданной на полуоси и имеющей на этой полуоси непрерывную производную;

При этих условиях из сходимости одного из следующих несобственных интегралов

вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.

Сформулированное утверждение устанавливается с помощью следующих рассуждений.

Рассмотрим произвольный сегмент . Этому сегменту Отвечает, согласно строгой монотонности функции сегмент (или ) оси t такой, что при изменении на сегменте значения функции заполняют сегмент , причем Таким образом, для указанных сегментов выполнены

все условия п. 3 § 5 гл. 9, при которых действует формула замены переменной под знаком определенного интеграла. Поэтому имеет место равенство

В силу строгой монотонности функции при и, обратно, при Поэтому из формулы (9.1.11) вытекает справедливость сформулированного выше утверждения.

Перейдем теперь к вопросу об интегрировании по частям несобственных интегралов первого рода.

Докажем следующее

Утверждение. Пусть функции имеют непрерывные производные на полупрямой и, кроме того, существует предельное значение При этих условиях из сходимости одного из интегралов

вытекает сходимость другого из этих интегралов и справедливость формулы

Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим произвольный сегмент . На этом сегменте действует обычная формула интегрирования по частям. Поэтому

Так как при выражение стремится к то из последнего равенства следует одновременная сходимость или расходимость интегралов (9.1.12) и справедливость формулы (9.1.13) в случае сходимости одного из интегралов (9.1.12).