§ 4. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

1. Понятие условного экстремума.

В § 6 гл. 12 мы занимались отысканием локальных экстремумов функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Вместе с тем в математике и в ее приложениях часто встречается задача об отыскании экстремумов функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи. Экстремумы такого рода мы будем называть условными, чтобы отличить их от (безусловных) экстремумов, изученных в § 6 гл. 12.

Рис. 13.6

Приведем пример задачи об отыскании условного экстремума. Пусть требуется найти экстремумы функции при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют условию связи Таким образом, экстремумы функции ищутся не на всей плоскости а лишь на прямой Для решения поставленной задачи подставим в выражение функции значение у, определяемое из условия связи Таким путем мы сведем поставленную задачу к задаче об отыскании безусловного экстремума функции

Последний экстремум находится без труда: поскольку то функция имеет мщшмум при Таким образом, функция с условием «связи имеет условный минимум в точке (1/2, 1/2). Отметим, что безусловный минимум функции

достигается в точке (0,0) и равен . Впрочем, даже из наглядных соображений (рис. 13.6) очевидно, что минимум функции (графиком которой служит параболоид вращения) на всей плоскости не совпадает с ее минимумом на прямой

Переходим к общей постановке задачи об отыскании условного экстремума. Пусть требуется найти экстремум функции переменных

при наличии условий связи

Прежде всего уточним само понятие условного экстремума функции (13.40) при наличии связей (13.41). Будем говорить, что функция (13.40) при наличии связей (13.41) имеет условный максимум (минимум) в точке координаты которой удовлетворяют условиям связи (13.41), если найдется такая окрестность точки в пределах которой значение функции (13.40) в точке является наибольшим (наименьшим) среди ее значений во всех точках, координаты которых удовлетворяют условиям связи (13.41).

Для нахождения условного экстремума функции (13.40) при наличии связей (13.41) предположим, что функции, стоящие в левых частях равенств (13.41), дифференцируемы в некоторой окрестности рассматриваемой точки причем в самой точке частные производные указанных функций по непрерывны, а якобиан

отличен от нуля.

В таком случае в силу теоремы 13.2 для достаточно малых положительных чисел найдется такая окрестность точки пространства переменных что всюду в пределах этой окрестности определены функций

удовлетворяющих условиям и являющихся при наличии этих условий единственным и дифференцируемым

решением системы уравнений (13.41). Подставляя найденные функции (13.43) в (13.40), мы сведем вопрос о существовании условного экстремума в точке функции (13.40) при наличии связей (13.41) к вопросу о существовании безусловного экстремума в точке сложной функции аргументов

Вопрос о существовании безусловного экстремума функции (13.44) может быть решен методами, указанными в § 6 гл. 12. Изложенная нами общая схема сведения условного экстремума к безусловному была реализована рассмбтрейнйм выше частном примере. Постараемся теперь, не прибегая к решению системы (13.41), установить по крайней мере необходимые условия существования условного экстремума в точке Итак, пусть функция (13.40) дифференцируема в точке и имеет в этой точке условный экстремум при наличии связей (13.41) или, что то же самое, функция (13.44) имеет в точке безусловный экстремум. Согласно установленному в § 6 гл. 12 необходимым условием безусловного экстремума функции в точке является равенство нулю в этой точке дифференциала этой функции

тождественное относительно . В силу инвариантности формы первого дифференциала и равенства (13.44) формулу (13.45) можно переписать в виде

(В этой формуле все частные производные берутся в точке Подчеркнем, однако, что в равенстве (13.46) представляют собой дифференциалы функций (13.43), так что равенство (13.46) не является тождеством относительно Предположим, что в уравнения связи (13.41) мы подставили функции (13.43), являющиеся решением системы (13.41). При этом уравнения (13.41) обратятся в тождества, и мы получим, дифференцируя эти тождества,

Так как якобиан (13.42), по предположению, отличен от нуля в точке то из линейной системы могут быть выражены как линейные функции Если найти эти выражения и подставить их в (13.46), то, собирая в полученном равенстве члены, содержащие мы будем иметь

где через обозначены некоторые рациональные функции частных производных в точке Так как в равенстве (13.48) фигурируют лишь дифференциалы независимых переменных, то из этого равенства заключаем, что Присоединяя к указанным равенствам условий связи (13.41), мы получим необходимые условия существования условного экстремума функции (13.40) при наличии связей (13.41) в виде

Равенства (13.49) представляют собой систему уравнений для определения координат точки возможного экстремума.