§ 5. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ

Анализируя определения различных видов предела функции по Коши, мы легко можем заметить, что во всех этих определениях требуется, чтобы для любого все значения этой функции, отвечающие значениям аргумента х, принадлежащим некоторому множеству удовлетворяли неравенству (3.58), т. е. принадлежали -окрестности

При этом множество определенное для всех имеет разный вид при определении различных видов предела. При определении предела в точке а множество представляет собой проколотую -окрестность точки а, при определении правого [левого] предела в точке а множество представляет собой интервал [соответственно при определении предела при множество представляет собой внешнюю часть сегмента и, наконец, при определении предела при [при ] множество представляет собой открытую полупрямую [соответственно

Если функция задана на множестве то во всех определениях пределов по Коши требуется, чтобы неравенство (3.58) было справедливо для тех элементов множества которые принадлежат соответствующему множеству Договоримся обозначать символом подмножество тех элементов которые принадлежат т. е. положим

Естественно, возникает вопрос, какими общими свойствами обладает совокупность всех подмножеств множества

Анализ условий, при которых формулируются определения 1—4 пределов функции по Коши, приводит нас к выводу, что множество задания функции всякий раз имеет хотя бы один элемент, принадлежащий т. е. множество всегда не является пустым.

Далее легко убедиться в том, что для всех видов пределов пересечение двух любых множеств совокупности представляет собой некоторое множество той же совокупности.

Так, например, пересечение двух множеств первое из которых состоит из значений аргумента, принадлежащих проколотой -окрестности точки а, а второе — из значений аргумента, принадлежащих проколотой -окрестности точки а, представляет собой совокупность значений аргумента, принадлежащих проколотой -окрестности точки а, где — наименьшее из двух положительных чисел , т. е. представляет собой множество В той же совокупности

В более общей ситуации, которая может встретиться, например, при изучении функции нескольких переменных, пересечение

двух любых множеств совокупности само может не являться элементом этой совокупности, но обязательно содержит элемент этой совокупности.

Проведенное рассмотрение, естественно, приводит нас к фундаментальному понятию базы множества задания функции.

Определение 1. Будем говорить, что бесконечная совокупность подмножеств множества образует базу (или базис фильтра) множества если для элементов этой совокупности выполнены два требования: 1) каждый элемент является непустым подмножеством множества в пересечении любых двух элементов совокупности обязательно содержится некоторый элемент этой же совокупности.

Приведем примеры наиболее употребительных баз (базисов фильтра).

Г. Пусть функция задана на множестве имеющем хотя бы один элемент в любой проколотой -окрестности точки а. Указанную проколотую -окрестность точки а обозначим символом и положим Очевидно, совокупность множеств Вв при всех образует базу множества ибо каждое множество при любом не является пустым и пересечение любых двух множеств совокупности как уже отмечалось выше, представляет собой множество из той же совокупности.

Рассмотренную базу принято обозначать символом

2°. Пусть функция задана на множестве имеющем при любом хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу [соответственно ]. Обозначив указанный интервал символом положим Тривиально проверяется, что совокупность множеств отвечающих всевозможным образует базу множества

Указанную базу принято обозначать символом [соответственно

3°. Пусть функция задана на множестве имеющем хотя бы один элемент вне сегмента при любом Положим Легко проверить, что совокупность образует базу множества

Эту базу принято обозначать символом

4°. Пусть функция задана на множестве имеющем при любом хотя бы один элемент на полупрямой [соответственно Обозначим указанную полупрямую символом и положим Легко убедиться в том, что совокупность образует базу множества

Эту базу обозначают символом [соответственно

5°. Пусть, наконец, множество представляет собой множество всех натуральных чисел Положив для любого мы легко убедимся и в том, что совокупность образует базу множества

Эту базу принято обозначать символом

Сформулируем теперь фундаментальное определение предела функции по базе В множества ее задания, содержащее в себе как все рассмотренные выше виды предела функции, так и предел числовой последовательности.

Предположим, что функция задана на множестве и что совокупность подмножеств множества образует базу множества

Множество всех значений, которые принимает функция когда ее аргумент х пробегает множество договоримся называть образом множества и обозначать символом

Определение 2. Число Ь называется пределом функции по базе В множества ее задания, если для любого существует такой элемент базы В, образ которого принадлежит -окрестности точки т. е. принадлежит интервалу .

Для обозначения предела функции по базе В множества ее задания будем использовать симв

Читатель без труда проверит, что это общее определение предела по базе содержит в себе как частные случаи изученные выше виды пределов, отвечающие базам

—ОО И П-УОО.

Легко проверить также, что для общего определения предела по базе остаются справедливыми основные свойства предела, отвечающего простейшей базе

Мы ограничимся тем, что докажем критерий Коши существования общего предела функции по базе В множества ее задания.

Теорема 3.22. Для существования предела функции по базе множества ее задания необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся элемент базы В, образ которого содержится в некотором интервале длины 2е.

Доказательство. 1) Необходимость очевидна: если существует предел Ь функции по базе В, то для любого найдется элемент этой базы образ которого содержится в интервале , имен длину .

2) Достаточность. Пусть для любого существует элемент базы В, образ которого содержится в некотором интервале длины . Рассмотрим бесконечно малую последовательность

тельность положительных чисел каждого найдется элемент базы образ которого содержится в некотором интервале длины

По определению базы в пересечении элементов и В обязательно лежит некоторый элемент базы, который мы обозначим символом Образ этого элемента лежит как в некотором интервале длины так и в некотором интервале длины Пересечение интервалов представляет собой интервал длины, не большей содержащийся в интервале Далее, по определению базы в пересечении элементов обязательно лежит некоторый элемент базы, который мы обозначим символом Образ этого элемента лежит как в интервале длины, не большей так некотором интервале длины . Пересечение интервалов. представляет собой интервал 1% длины, не большей содержащийся в интервале

Продолжая эти рассуждения далее, мы построим последовательность элементов базы таких, что образ каждого элемента содержится в некотором интервале длины, не большей причем в последовательности интервалов каждый следующий интервал содержится в предыдущем. Обозначим символом сегмент, получающийся добавлением к интервалу его концов. Так как последовательность представляет собой стягивающуюся систему сегментов (см. п. 2 § 2), то в силу следствие из теоремы 3.15 существует, и притом единственная, точка принадлежащая всем сегментам.

Остается доказать, что b является пределом функции по базе В, т. е. убедиться в том, что для любого найдется элемент базы В, образ которого содержится в интервале .

В силу того, что система сегментов является стягивающейся и b является общей точкой всех сегментов, мы можем утверждать, что для любого найдется сегмент с достаточно большим номером содержащийся в интервале . Это означает, что при соответствующем номере элемент базы имеет образ содержащийся в интервале . Теорема доказана.

Подчеркнем, что доказанная теорема содержит в качестве частных случаев как критерий Коши сходимости числовой последовательности, так и критерии Коши существования всех рассмотренных выше видов предела функции.

В качестве возможных обобщений изложенной теории можно рассматривать функции, заданные на подмножествах произвольного метрического пространства (см. по этому поводу дополнение 2 к гл. 12).

Замечание. Базы В и D множества называются эквивалентными, если для любого элемента Вбазы В найдется такой элемент D базы что и для любого элемента базы D найдется такой элемент базы В, что Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества называется фильтром множества

Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В и D справедливы одновременно.