§ 6. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ

1. Понятие экстремума функции m переменных. Необходимые условия экстремума.

Пусть функция переменных определена в некоторой окрестности точки пространства .

Определение 1. Будем говорить, что функция имеет в точке локальный максимум [локальный минимум], если найдется такая -окрестность точки в пределах которой значение является наибольшим [наименьшим] среди всех значений этой функции.

Определение 2. Будем говорить, что функция имеет в точке локальный экстремум, если она имеет этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.

Установим необходимые условия локального экстремума функции обладающей в данной точке частными производными первого порядка до всем переменным.

Докажем следующее

Утверждение. Если функция обладает в точке частными производными первого порядка по всем переменным и имеет в этой

точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в точке в нуль, т. е.

Доказательство. Установим справедливость первого равенства (12.68). Фиксируем у функции аргументы положив их равными соответствующим координатам точки т. е. положив При этом мы получим функцию одной переменной Производная этой функции одной переменной в точке совпадает с частной производной

Так как функция переменных имеет локальный экстремум в точке то указанная функция одной переменной имеет локальный экстремум в точке и поэтому (в силу результатов п. 2 § 1 гл. 7) производная этой функции одной переменной в точке совпадающая с частной производной равна нулю.

Первое равенство (12.68) доказано. Остальные равенства (12.68) доказываются аналогично.

Подчеркнем, что равенства обращение в нуль в данной точке всех частных производных первого порядка) являются лишь необходимыми и не являются достаточными условиями локального экстремума функции в точке

Например, у функции двух переменных обе частные производные и обращаются в нуль в точке но никакого экстремума в этой точке указанная функция не имеет, ибо эта функция равна нулю в самой точке а в как угодно малой -окрестности этой точки принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции называются стационарными точками этой функции.

В каждой стационарной точке у функции возможен локальный экстремум, однако наличие этого экстремума можно установить лишь с помощью достаточных условий локального экстремума, выяснению которых посвящен следующий пункт.

Из доказанного выше утверждения вытекает и другая форма необходимых условий локального экстремума: если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то дифференциал этой функции в точке равен нулю тождественно относительно дифференциалов независимых переменных

В самом деле, поскольку

то из равенств (12.68) вытекает, что при любых справедливо равенство