§ 4. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

1. Определение операций сложения и умножения. Описание понятия вещественных чисел. Хорошо известно, как складывают два числа, представимых бесконечными десятичными дробями, когда требуется вычислить их сумму на практике.

Для того чтобы сложить два таких числа а и заменяют их с требуемой точностью рациональными числами и за приближенное значение суммы чисел а и b берут сумму указанных рациональных чисел. При этом совершенно не заботятся о том, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают а и

Фактически указанный практический способ сложения чисел представимых бесконечными десятичными дробями, предполагает что чем точнее рациональные числа приближают (с любой стороны) числа а и соответственно, тем точнее сумма приближает то представимое бесконечной десятичной дробью число, которое должно являться суммой чисел а и

Желание оправдать указанный практический способ сложения естественно приводит к следующему определению.

Определение 1. Суммой двух представимых бесконечными десятичными дробями чисел а и b называется такое представимое бесконечной десятичной дробью число х, которое для любых рациональных чисел удовлетворяющих соотношениям удовлетворяет неравенствам

Это число х обозначают символом а

2 будет доказано, что такое число существует и притом только одно. Там же будет установлено, что таким числом является точная верхняя грань множества сумм всех рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам или точная нижняя грань множества сумм всех рациональных чисел удовлетворяюших неравенствам .

В п. 2 будет доказано также, что в применении к двум рациональным числам данное нами определение приводит к тому же результату, что и старое определение суммы рациональных чисел.

Перейдем теперь к определению произведения двух чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Сначала определим произведение двух положительных чисел а и

Определение 2. Произведением двух представимых положительными бесконечными десятичными дробями чисел а и b называется такое представимое бесконечной десятичной дробью число х, которое для любых рациональных чисел

удовлетворяющих соотношениям удовлетворяет неравенствам

Это число х обозначают символом

В п. 2 будет установлено, что такое число существует и притом только одно. Таким числом х является точная верхняя грань множества произведений всех рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам или точная нижняя грань множества произведений всех рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам

Произведение чисел любого знака определяется по следующему правилу:

1) для любого представимого бесконечной десятичной дробью числа а полагают, что

2) для произвольных отличных от нуля и представимых бесконечными десятичными дробями чисел а и b полагают

В п. 2 будет установлено, что в применении к двум рациональным числам данное нами определение произведения приводит к гому же результату, что и прежнее определение произведения рациональных чисел.

Теперь мы располагаем всем тем, что необходимо для описания понятия вещественных чисел.

Договоримся называть вещественными числа, представимые бесконечными десятичными дробями, при условии, что для этих чисел указанным выше способом определены три операции: упорядочения, сложения и умножения.

Так как все изложенное в § 2 и 3 (и, в частности, основная теорема 2.1 и леммы 1—3) справедливо для произвольных чисел, представимых бесконечными дробями, для которых определена только одна операция упорядочения, то все изложенное в этих параграфах справедливо и для произвольных вещественных чисел.

В дальнейшем будут рассматриваться числа, представимые бесконечными десятичными дробями, для которых кроме операции упорядочения определены также и операции сложения и умножения.

Такие числа в соответствии со сформулированным нами понятием мы в дальнейшем будем называть вещественными.