3. Основные свойства неопределенного интеграла.

Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределенного интеграла:

Свойство 1° означает, что знаки и взаимно сокращаются в случае, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.

Свойство 2° означает, что знаки и взаимно сокращаются и в случае, если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но в этом случае к следует добавить произвольную постоянную С.

Для установления свойства 1° достаточно взять дифференциал от обоих частей формулы (8.2) и учесть, что

Для установления свойства 2° достаточно в левой части (8.2) воспользоваться равенством

Следующие два свойства обычно называют линейными свойствами интеграла:

Подчеркнем, что равенство в формулах 3° и 4° имеет условный характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого (это понятно, поскольку каждый из интегралов, фигурирующих в формулах 3° и 4°, определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого).

Поскольку две первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную, то для доказательства свойства 3° достаточно доказать, что если — первообразная для — первообразная для то функция является первообразной для функции Это последнее непосредственно вытекает из того, что произвольная (алгебраической) суммы функций равна сумме производных этих функций, т. е.

Аналогично доказывается свойство 4°. В этом случае используется равенство