Глава 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

В настоящей главе будет установлен ряд важных теорем, относящихся к произвольным дифференцируемым функциям. Эти теоремы чрезвычайно эффективны при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельных точек области ее задания, так и на целых участках области ее задания).

§ 1. ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Рассмотрим функцию определенную всюду в некоторой окрестности фиксированной точки с.

Определение 1. Будем говорить, что функция в точке с, если найдется такая -окрестность гочки с, в пределах которой

и

Определение 2. Будем говорить, что функция убывает в точке с, если найдется такая -окрестность точки с, в пределах которой

и

Определение 3. Будем говорить, что функция имеет в точке с локальный максимум [локальный минимум], если найдется такая -окрестность точки с, в пределах которой значение является наибольшим [наименьшим] среди всех значений этой функции.

Определение 4. Будем говорить, что функция имеет в точке с локальный экстремум, если эта функция имеет, в указанной точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.

На рис. 6.1 изображена функция, возрастающая в точке си убывающая в точке имеющая локальный максимум в точке и локальный минимум в точке

Докажем следующие две теоремы.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Теорема 6.1 (достаточное условие возрастания или убывания функции в точке). Если функция дифференцируема в точке с и ее производная в этой точке положительна [отрицательна], то функция возрастает [убывает] в точке с.

Доказательство. Проведем все рассуждения для случая (для случая они аналогичны).

Так как (по определению производной)

то на основании определения предела функции по Коши для положительного числа найдется такое, что

или, что то же самое,

Таким образом, всюду в проколотой -окрестности точки с

Но это и означает, что всюду в пределах -окрестности точки с

т. е. функция возрастает в точке с.

Случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание 1. Подчеркнем, что положительность [отрицательность] производной не является необходимым условием возрастания [убывания] дифференцируемой в точке с функции

Так, функция возрастает в точке в то время как производная этой функции обращается в нуль в точке (график функции — на рис. 6.2).

Теорема 6.2 (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции). Если функция дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то

Доказательство. По условию теоремы существует конечная производная Так как функция имеет в точке с локальный экстремум, то она не может в этой точке с ни возрастать, ни убывать. Значит, в силу теоремы 6.1 производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Тем самым доказано, что

Теорема 6.2 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что если в той точке кривой в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Замечание 2. Пример той же самой функции (см. рис. 6.2) показывает, что обращение в нуль производной является лишь необходимым и не является достаточным условием локального экстремума. (Производная этой функции обращается в нуль в точке но никакого экстремума в этой точке нет.)