§ 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1. Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности.

Рассмотрим некоторую последовательность и произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел Выберем из последовательности элементы с номерами и расположим их в порядке возрастания указанных номеров. Мы получим при этом новую последовательность

которую принято называть подпоследовательностью исходной последовательности

В частности, и сама последовательность может рассматриваться как подпоследовательность с номерами

Заметим сразу же, что всегда ибо любая подпоследовательность, не совпадающая со всей последовательностью, получается путем некоторого прорежения элементов последовательности.

Справедливы два тривиальных утверждения:

1°. Если последовательность сходится к пределу а, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же самому пределу а.

2°. Если все подпоследовательности некоторой последователь ности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность).

Докажем сначала утверждение 1°.

Фиксируем произвольное положительное число и, пользуясь сходимостью последовательности к пределу а, выберем по этому номер такой, что при всех Пусть произвольная подпоследовательность последовательности Так как то для всех номеров элементы подпоследовательности удовлетворяют неравенству а это и означает, что подпоследовательность сходится к пределу а.

Для доказательства утверждения 2° достаточно учесть, что так как сама последовательность (как частный случай подпоследовательности) сходится к некоторому пределу а, то и любая ее. подпоследовательность сходится к тому же пределу а (в силу утверждения 1°).

В полной аналогии с утверждением Г доказывается, что любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность.

Введем фундаментальное понятие предельной точки последовательности.

Определение 1. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности если в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

Определение 2. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х.

Убедимся в том, что определения 1 и 2 эквивалентны.

1) Пусть в любой -окрестности х содержится бесконечно много элементов последовательности Рассмотрим совокупность -окрестностей точки х, для которых последовательно равно

В первой из этих окрестностей выберем элемент последовательности с некоторым номером во второй из указанных окрестностей выберем элемент последовательности с номером удовлетворяющим условию в третьей из указанных окрестностей

выберем элемент последовательности с номером удовлетворяющим условию Этот процесс можно продолжать неограниченно, так как в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов последовательности В результате мы получим подпоследовательность последовательности которая сходится к пределу х, ибо

2) Предположим, что из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х. Тогда в любой -окрестности точки х лежит бесконечно много элементов подпоследовательности (все, начиная с некоторого номера). Так как каждый элемент подпоследовательности является элементом и всей последовательности, то в любой -окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности.

Эквивалентность определений 1 и 2 доказана.

Выясним вопрос о наличии предельных точек у сходящейся последовательности.

Лемма 1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Доказательство. Пусть последовательность сходится к пределу х. Тогда в любой -окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности (все, начиная с некоторого номера), а поэтому х является предельной точкой последовательности

Остается доказать, что ни одно число х, отличное от х, не является предельной точкой последовательности но это непосредственно вытекает из доказанного выше утверждения 1, согласно которому из сходимости всей последовательности к пределу х вытекает сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу х.

Приведем пример ограниченной последовательности имеющей две предельные точки. Докажем, что последовательность имеет только две предельные точки Тот факт, что эти две точки являются предельными, вытекает из того, что подпоследовательность всех нечетных элементов рассматриваемой последовательности сходится к пределу а подпоследовательность всех четных элементов рассматриваемой последовательности сходится к пределу Остается доказать, что ни одно число отличное от 0 и 1, не является предельной точкой нашей последовательности. Так как то заведомо можно указать столь малое положительное число что -окрестности трех точек 0, 1 и не будут иметь общих точек (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Но все нечетные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в -окрестности числа 0, а все четные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого ног мера, находятся в -окрестности числа 1. Поэтому за пределами -окрестностей чисел 0 и 1 (и, в частности, в -окрестности числа может лежать лишь конечное число элементов нашей последовательности. Это и означает, что не является предельной точкой последовательности.

Приведем теперь пример ограниченной последовательности имеющей бесконечно много предельных точек. Выше (в п. 3 § 7 гл. 2) мы установили, что множество всех рациональных чисел из сегмента [0, 1] можно занумеровать в последовательность Докажем, что любое вещественное число х из сегмента [0, 1] является предельной точкой указанной последовательности Заметим, что, каково бы ни было число х из сегмента для любого хотя бы одно из двух чисел также принадлежит сегменту [0,1].

Предположим ради определенности, что число принадлежит сегменту [0, 1]. Между двумя не равными друг другу вещественными числами в силу леммы 2 § 3 гл. 2, лежит бесконечно много различных рациональных чисел. Это означает, что при любом в -окрестности точки х лежит бесконеч но много элементов последовательности является предельной точкой этой последовательности.

Естественно, возникает идея рассмотрения наибольшей и наименьшей предельных точек последовательности.

Определение 3. Наибольшая предельная точка последовательности называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом

Определение 4. Наименьшая предельная точка последовательности называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом

Возникает вопрос о существовании хотя бы одной предельной точки и верхнего и нижнего пределов у любой ограниченной последовательности.

Справедлива следующая замечательная теорема.

Основная теорема 3.16. У всякой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы и, в частности, существует хотя бы одна предельная точка.

Доказательство. Остановимся на доказательстве существования у любой ограниченной последовательности хотя бы одной предельной точки и верхнего предела. (Существование нижнего предела доказывается аналогично.)

Пусть — произвольная ограниченная последовательность. По условию ограниченности найдутся два вещественных числа и М такие, что любой элемент последовательности удовлетворяет неравенствам

Рассмотрим множество всех вещественных чисел х таких, что правее каждого из этих чисел либо вовсе нет элементов последовательности либо таких элементов лишь конечное число.

Иными словами, вещественное число х принадлежит множеству если правее х лежит не более чем конечное число элементов последовательности и не принадлежит множеству если правее этого числа х лежит бесконечно много элементов последовательности

Заметим, что множество заведомо не является пустым: ему принадлежит любое вещественное число х, удовлетворяющее неравенству (ибо правее такого х нет элементов последовательности Кроме того, очевидно, что множество ограничено снизу и в качестве его нижней грани может быть взято любое число, меньшее (правее такого числа лежат все элементы последовательности а их бесконечно много).

По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества существует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом х. Докажем, что это число и является верхним пределом последовательности

Достаточно доказать два утверждения:

1°. Число х является предельной точкой последовательности (т. е. в любой -окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности

2°. Ни одно число х, большее х, уже не является предельной точкой последовательности (это и будет означать, что х является наибольшей предельной точкой, т. е. верхним пределом

Для доказательства утверждения 1° фиксируем произвольное положительное число е. По определению нижней грани любое число, меньшее х (и, в частности, число не принадлежит введенному нами множеству Значит, правее лежит бесконечно много элементов последовательности

Далее, из того, что число х является точной нижней гранью и из неравенства вытекает, что найдется хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенствам т. е. лежащий левее . В силу определения множества правее этого числа х лежит не более чем конечное число элементов последовательности

На рис. 3.2 условно указано, что правее числа лежит бесконечно много элементов последовательности а правее числа х лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности.

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Так как правее лежит бесконечно много, а правее х — лишь конечное число элементов последовательности то мы приходим к выводу, что на полусегменте (а значит, и на интервале лежит бесконечно много элементов последовательности

Итак, мы доказали, что для любого в -окрестности точки х лежит бесконечно много элементов последовательности Это и означает, что х является предельной точкой последовательности Утверждение Г доказано.

Подчеркнем, что попутно мы доказали, что для любого правее числа лежит не более чем конечное число элементов последовательности

Это последнее утверждение используем для доказательства утверждения 2° о том, что х является наибольшей предельной точкой.

Пусть х — любое число, большее х. Обозначим через положительное число При таком выборе -окрестности точек не будут иметь общих точек, а точнее, вся -окрестность точки х будет лежать правее числа т. е. правой границы -окрестности точки х (рис. 3.3).

Выше мы установили, что для любого правее лежит не более чем конечное число элементов последователыюсти Значит, в рассматриваемой нами -окрестности точки х лежит не более чем конечное число элементов последовательности а это и означает, что х не является предельной точкой последовательности Утверждение 2° доказано.

Мы доказали существование у ограниченной последовательности верхнего предела (т. е. наибольшей предельной точки). Совершенно аналогично доказывается, что у такой последовательности существует нижний предел, являющийся точной верхней гранью того множества вещественных чисел левее каждого из которых лежит не более чем конечное число элементов последовательности Теорема 3.16 доказана.

Следствие 1 из теоремы 3.16. Если — ограниченная последовательность, — ее нижний и верхний пределы, 8 — любое положительное число, то на интервале лежат все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от ).

Достаточно доказать, что для любого вне интервала лежит не более чем конечное число элементов последовательности Тем более достаточно доказать, что правее левее лежит не более чем конечное число элементов последовательности Тот факт, что для любого правее лежит не более чем конечное число элементов уже установлен в процессе доказательства теоремы 3.16. Совершенно аналогично доказывается, что для любого левее лежит не более чем конечное число элементов последовательности

Следствие 2 из теоремы 3.16. Пусть — ограниченная последовательность, — ее нижний и верхний пределы, — интервал, вне которого лежит не более чем конечное число элементов последовательности Тогда интервал содержится в интервале и, в частности,

Доказательство. Достаточно доказать два неравенства Первое из этих неравенств вытекает из того, что точка правее которой лежит не более чем конечное число элементов последовательности принадлежит множеству рассмотренному при доказательстве теоремы является точной нижней гранью этого множества. Второе неравенство устанавливается аналогично.

Следствие 3 из теоремы 3.16 (теорема Больцано— Вейерштрасса. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Эта теорема является непосредственным следствием теоремы 3.16 и определения 2 предельной точки.

Теорема 3.16 проливает свет на то, как устроено множество всех предельных точек любой ограниченной последовательности.

Если, как и выше, обозначить через нижний и верхний пределы этой последовательности, то можно утверждать, что все ее предельные точки лежат на сегменте причем если указанная последовательность не является сходящейся, то она имеет по крайней мере две предельные точки Рассмотренная нами выше последовательность представляет собой пример последовательности, имеющей только две предельные точки

Другая рассмотренная выше последовательность содержащая все рациональные числа из сегмента [0, 1], представляет собой пример последовательности, предельные точки которой покрывают весь сегмент которого .

Легко построить пример последовательности, предельными точками которой служат: 1) наперед заданное конечное множество точек наперед взятая бесконечная последовательность точек (во втором случае каждая предельная точка последовательности предельных точек будет являться предельной точкой исходной последовательности