4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Теорема 12.15. Пусть — целое число, функция задана и раз дифференцируема в -окрестности точки раз дифференцируема в самой точке

Тогда для любой точки М из указанной в окрестности справедлива следующая формула:

«в которой через обозначено расстояние ), а символ обозначает бесконечно малую при (или при функцию более высокого порядка малости, чем

Формула (12.58) называется формулой Тейлора (с центром в точке с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание. В более подробной записи формула Тейлора ( 12.58) имеет вид

Заметим, что в правой части (12.59) стоит сумма многочлена «степени от переменных и остаточного члена

Обозначим через разность между и указанным многочленом, т. е. положим

Теорема 12.15 будет доказана, если мы установим, что при выполнении условий этой теоремы

Доказательству теоремы 12.15 предпошлем две леммы. Лемма 1. Если функция раз дифференцируема в точке то как сама функция определяемая равенством (12.60), так и все ее частные производные по любым переменным до порядка включительно обращаются в нуль в точке

Доказательство. При функция (12.60) принимает вид

и равенства при всех проверяются элементарно.

Для проведения индукции предположим, что лемма справедлива для некоторого номера и докажем, что в таком случае она справедлива и для номера .

Пусть функция раз дифференцируема в точке и

Равенство проверяется элементарно (достаточно учесть, что каждая круглая скобка в (12.61) обращается в нуль в точке

Нам остается доказать, что для любого сама функция и все частные производные этой функции до порядка включительно обращаются в нуль в точке а для этого в силу сделанного нами предположения о справедливости леммы для номера достаточно доказать, что функция определяется равенством типа (12.60), а точнее, равенством

Так как все переменные равноправны и входят в выражение для симметрично, то достаточно доказать равенство (12.62) для т. е. доказать равенство

Из (12.61) очевидно, что для доказательства (12.63) достаточно убедиться, что для каждого номера при фиксированных

Так как при дифференцировании по переменные фиксированы, то величину

при дифференцировании по можно рассматривать как постоянен

К этому следует добавить, что поскольку символы используются для образования частных производных функции в фиксированной точке то при дифференцировании по указанные символы нужно рассматривать как постоянные величины.

В силу сказанного для доказательства равенства (12.64) достаточно убедиться в справедливости равенства

Дифференцируя функцию как сложную и учитывая отмеченную выше независимость от символов D и мы получим равенство (12.65). Индукция завершена.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть -произвольная функция, удовлетворяющая двум требованиям:

раз дифференцируема в точке

2) сама функция и все ее частные производные по любым переменным до порядка включительно обращаются

в нуль в указанной точке Тогда для функции справедлива оценка

в которой через обозначено расстояние между точками М и

Доказательство. При утверждение леммы вытекает из условия дифференцируемости функции в точке которое имеет вид

Учитывая, что для всех мы и получим,

Для проведения индукции предположим, что лемма 2 справедлива для некоторого номера , и докажем, что в таком случае она справедлива и для номера

Пусть функция удовлетворяет двум требованиям леммы 2 для номера Тогда, очевидно, любая частная производная этой функции первого порядка (М), будет удовлетворять двум требованиям леммы 2 для номера , а потому (в силу сделанного нами предположения о справедливости леммы 2 для номера будет справедлива оценка

Заметим теперь, что поскольку то и функция удовлетворяющая двум требованиям леммы 2 для номера , во всяком случае, один раз дифференцируема в окрестности точки Поэтому для этой функции выполнены условия теоремы 12.15 для номера Согласно указанной теореме для любой точки М из достаточно малой -окрестности точки на отрезке найдется точка такая, что справедлива формула

Заметим теперь, что поскольку точка лежит между точками — это расстояние между точками и М, то и потому из (12.66) вытекает, что

Подставляя последнюю оценку в (12.67) и учитывая, что мы получим

Так как мы окончательно получим, что

Индукция завершена. Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы 12.15 легко проводится с помощью леммы 1 и 2.

В самом деле, выше уже отмечалось, что для доказательства теоремы 12.15 достаточно установить, что при выполнении условий этой теоремы для функции (12.60) справедлива оценка

В силу леммы 1 сама функция (12.60) и все ее частные производные по любым переменным до порядка включительно обращаются в нуль в точке Но тогда в силу леммы 2 для функции (12.60) справедлива оценка Теорема 12.15 доказана.