2. Оценки интегралов.

а) Если функция f(x) интегрируема на сегменте для всех х из то интеграл, от функции по этому сегменту неотрицателен.

Доказательство следует из того, что для любого разбиения и любого выбора интегральная сумма

В этом случае предел интегральных сумм тоже будет неотрицателен. Действительно, допустим, что предел А этих сумм отрицателен. Пусть Выберем разбиение такое, что

Но последнее неравенство может выполняться, только если что противоречит условию Значит,

б) Интегрирование неравенства. Если функции интегрируемы на сегменте для всех х из

Действительно, функция интегрируема и неотрицательна на так что

Но тогда в силу свойства а) из п. 1 что и требовалось установить.

в) Пусть функция непрерывна и неотрицательна на сегменте Если существует хотя бы одна точка сегмента в которой то найдется положительное число а такое, что

Действительно, пусть Тогда в силу непрерывности функции в точке найдется такая окрестность точки что для любого сегмента лежащего целиком в этой окрестности, будет выполнено неравенство Но тогда в силу оценки из

Следовательно,

г) Если функция интегрируема Риману на то функция интегрируема на этом сегменте и

Рассмотрим функцию Согласно теореме 9.4 из интегрируемости следует интегрируемость (так как функция на любом сегменте удовлетворяет условию Липшица. Выберем теперь число так, чтобы Очевидно, что Тогда в силу свойства б)

что и требовалось.

д) Первая формула среднего значения. Пусть каждая из функций интегрируема на сегменте и функция кроме того, неотрицательна (или неположительна) на этом сегменте.

Обозначим через точные грани на сегменте Тогда найдется число удовлетворяющее неравенствам и такое, что справедлива следующая формула:

При дополнительном предположении о непрерывности на

сегменте можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка такая, что справедлива формула

Формулу принято называть первой формулой среднего значения. Формулу иногда также называют первой формулой среднего значения.

Заметим сразу же, что формула сразу вытекает из формулы и из того, что непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте как своих точных граней М и так и любого промежуточного значения .

Таким образом, нужно доказать только формулу Для доказательства формулы заметим, что по определению точных граней для любого значения х из справедливы неравенства

Предполагая ради определенности неотрицательной на - мы получим, умножая последние неравенства на что для любого х из

Так как, кроме того, в силу свойств б) и в) из каждая из функций интегрируема на то оценка позволяет утверждать справедливость следующих неравенств:

или, что то же самое (в силу свойства б) из

Могут представиться два случая: В первом случае из неравенств вытекает, что и потому формула справедлива при любом Во втором случае, поделив неравенства на число мы получим, что

Для завершения доказательства формулы остается обозначить символом число

Следствие. Сформулируем отдельно доказанную нами теорему для частного случая

Пусть функция интегрируема на сегменте а символы М и обозначают точные грани на указанном сегменте. Тогда найдется число удовлетворяющее неравенствам и такое, что справедлива формула

При дополнительном предположении о непрерывности на можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка такая, что справедлива формула

Последнюю формулу обычно также называют формулой среднего значения.

е) Вторая формула среднего значения. Пусть функция интегрируема, а функция монотонна на сегменте Тогда на этом сегменте найдется число такое, что

Установим сначала следующий факт, которым мы воспользуемся ниже

Лемма Абеля. Пусть числа удовлетворяют условиям при а числа

неравенствам где также некоторые числа.

Тогда

Доказательство. Легко проверить, что

где положено Так как заменив в последнем равенстве каждое сначала на а затем на М, получим

но

Таким образом, лемма доказана.

Установим теперь вторую формулу среднего значения. Допустим, что функция не возрастает на и неотрицательна. Функция интегрируема как произведение двух интегрируемых функций. Пусть — точные грани на частичных сегментах

Тогда очевидно, что

В силу монотонности справедлива оценка

В силу интегрируемости сумма в правой, а значит, и в левой части последнего неравенства стремится к нулю при стремлении диаметра разбиений к нулю. Следовательно, при любых числах таких, что все суммы

стремятся при к интегралу Это следует

двусторонней оценки для интегральной суммы функции

По свойству д) настоящего пункта числа где можно выбрать так, чтобы

Заметим теперь, что функция непрерывна на сегменте так как

и, следовательно, при

Рассмотрим следующие числа

Ясно, что где точные грани функции на сегменте . Введем следующие обозначения:

В силу монотонности и неотрицательности функции выполнимо при Числа удовлетворяют условиям леммы Абеля. Поэтому

Сумма заключена между

Устремим теперь диаметр разбиений к нулю. Тогда и предел этой суммы будет заключен между , т. е. будут справедливы. неравенства

Непрерывная функция принимает любое значение, заключенное между ее точными гранями . Так как

то существует точка такая, что

Следовательно, в случае, когда не возрастает и неотрицательна, доказана формула

Рассмотрим теперь общий случай невозрастающей функции . В этом случае функция не возрастает и неотрицательна. Подставив ее вместо в формулу, доказанную выше, получим, что

Окончательно получаем равенство

что и требовалось доказать.

Рассмотрим примеры на применение оценок для интегралов. Примеры. 1) Рассмотрим функцию

Эта функция непрерывна на сегменте [0,1]. Легко убедиться

с помощью вычисления производной, что эта функция достигает локального минимума при хо=/е. При этом и это значение является ее наименьшим значением на сегменте [0,1].

Используя свойство б) настоящего пункта, получим, что , а для числа легко получить, что

Заметим, что в этом случае значение интеграла нельзя определить через значения элементарных функций.

2) Если функция не является непрерывной, то формула среднего значения может быть несправедливой. Рассмотрим функцию

Тогда Значение 5/8 не принимается функцией ни в одной точке сегмента [0,1]. Следовательно, не существует числа [0, 1], для которого