Главная > Математический анализ. Начальный курс
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Оценки интегралов.

а) Если функция f(x) интегрируема на сегменте для всех х из то интеграл, от функции по этому сегменту неотрицателен.

Доказательство следует из того, что для любого разбиения и любого выбора интегральная сумма

В этом случае предел интегральных сумм тоже будет неотрицателен. Действительно, допустим, что предел А этих сумм отрицателен. Пусть Выберем разбиение такое, что

Но последнее неравенство может выполняться, только если что противоречит условию Значит,

б) Интегрирование неравенства. Если функции интегрируемы на сегменте для всех х из

Действительно, функция интегрируема и неотрицательна на так что

Но тогда в силу свойства а) из п. 1 что и требовалось установить.

в) Пусть функция непрерывна и неотрицательна на сегменте Если существует хотя бы одна точка сегмента в которой то найдется положительное число а такое, что

Действительно, пусть Тогда в силу непрерывности функции в точке найдется такая окрестность точки что для любого сегмента лежащего целиком в этой окрестности, будет выполнено неравенство Но тогда в силу оценки из

Следовательно,

г) Если функция интегрируема Риману на то функция интегрируема на этом сегменте и

Рассмотрим функцию Согласно теореме 9.4 из интегрируемости следует интегрируемость (так как функция на любом сегменте удовлетворяет условию Липшица. Выберем теперь число так, чтобы Очевидно, что Тогда в силу свойства б)

что и требовалось.

д) Первая формула среднего значения. Пусть каждая из функций интегрируема на сегменте и функция кроме того, неотрицательна (или неположительна) на этом сегменте.

Обозначим через точные грани на сегменте Тогда найдется число удовлетворяющее неравенствам и такое, что справедлива следующая формула:

При дополнительном предположении о непрерывности на

сегменте можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка такая, что справедлива формула

Формулу принято называть первой формулой среднего значения. Формулу иногда также называют первой формулой среднего значения.

Заметим сразу же, что формула сразу вытекает из формулы и из того, что непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте как своих точных граней М и так и любого промежуточного значения .

Таким образом, нужно доказать только формулу Для доказательства формулы заметим, что по определению точных граней для любого значения х из справедливы неравенства

Предполагая ради определенности неотрицательной на - мы получим, умножая последние неравенства на что для любого х из

Так как, кроме того, в силу свойств б) и в) из каждая из функций интегрируема на то оценка позволяет утверждать справедливость следующих неравенств:

или, что то же самое (в силу свойства б) из

Могут представиться два случая: В первом случае из неравенств вытекает, что и потому формула справедлива при любом Во втором случае, поделив неравенства на число мы получим, что

Для завершения доказательства формулы остается обозначить символом число

Следствие. Сформулируем отдельно доказанную нами теорему для частного случая

Пусть функция интегрируема на сегменте а символы М и обозначают точные грани на указанном сегменте. Тогда найдется число удовлетворяющее неравенствам и такое, что справедлива формула

При дополнительном предположении о непрерывности на можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка такая, что справедлива формула

Последнюю формулу обычно также называют формулой среднего значения.

е) Вторая формула среднего значения. Пусть функция интегрируема, а функция монотонна на сегменте Тогда на этом сегменте найдется число такое, что

Установим сначала следующий факт, которым мы воспользуемся ниже

Лемма Абеля. Пусть числа удовлетворяют условиям при а числа

неравенствам где также некоторые числа.

Тогда

Доказательство. Легко проверить, что

где положено Так как заменив в последнем равенстве каждое сначала на а затем на М, получим

но

Таким образом, лемма доказана.

Установим теперь вторую формулу среднего значения. Допустим, что функция не возрастает на и неотрицательна. Функция интегрируема как произведение двух интегрируемых функций. Пусть — точные грани на частичных сегментах

Тогда очевидно, что

В силу монотонности справедлива оценка

В силу интегрируемости сумма в правой, а значит, и в левой части последнего неравенства стремится к нулю при стремлении диаметра разбиений к нулю. Следовательно, при любых числах таких, что все суммы

стремятся при к интегралу Это следует

двусторонней оценки для интегральной суммы функции

По свойству д) настоящего пункта числа где можно выбрать так, чтобы

Заметим теперь, что функция непрерывна на сегменте так как

и, следовательно, при

Рассмотрим следующие числа

Ясно, что где точные грани функции на сегменте . Введем следующие обозначения:

В силу монотонности и неотрицательности функции выполнимо при Числа удовлетворяют условиям леммы Абеля. Поэтому

Сумма заключена между

Устремим теперь диаметр разбиений к нулю. Тогда и предел этой суммы будет заключен между , т. е. будут справедливы. неравенства

Непрерывная функция принимает любое значение, заключенное между ее точными гранями . Так как

то существует точка такая, что

Следовательно, в случае, когда не возрастает и неотрицательна, доказана формула

Рассмотрим теперь общий случай невозрастающей функции . В этом случае функция не возрастает и неотрицательна. Подставив ее вместо в формулу, доказанную выше, получим, что

Окончательно получаем равенство

что и требовалось доказать.

Рассмотрим примеры на применение оценок для интегралов. Примеры. 1) Рассмотрим функцию

Эта функция непрерывна на сегменте [0,1]. Легко убедиться

с помощью вычисления производной, что эта функция достигает локального минимума при хо=/е. При этом и это значение является ее наименьшим значением на сегменте [0,1].

Используя свойство б) настоящего пункта, получим, что , а для числа легко получить, что

Заметим, что в этом случае значение интеграла нельзя определить через значения элементарных функций.

2) Если функция не является непрерывной, то формула среднего значения может быть несправедливой. Рассмотрим функцию

Тогда Значение 5/8 не принимается функцией ни в одной точке сегмента [0,1]. Следовательно, не существует числа [0, 1], для которого

1
Оглавление
email@scask.ru