4. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
Справедлива следующая фундаментальная теорема.
Основная теорема 3.21. Пусть две функции 
заданы на одном и том же множестве 
и имеют в точке а пределы, соответственно равные 
и с. Тогда функции 
имеют в точке а пределы, соответственно равные 
(в случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы с было отлично от нуля).
Доказательство. Пусть 
— произвольная сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. В силу определения 1 предела по Гейне соответствующие последовательности значений функции 
сходятся к пределам Ь и с соответственно. Но тогда в силу теорем 3.9-3.12 последовательности 
сходятся к пределам 
соответственно. Это последнее в силу произвольности последовательности значений аргумента 
сходящейся к а, и в силу определения 1 предела по Гейне означает, что функции 
имеют в точке а пределы, соответственно равные 
Теорема доказана.
Доказательство соответствующей теоремы для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при 
и предела при 
проводится по той же схеме. Все отличие состоит в том, что в качестве последовательности значений аргумента 
следует взять в случае правого [левого] предела в точке а последовательность, сходящуюся к а и состоящую из чисел, больших а [меньших а], в случае предела при 
— бесконечно большую последовательность и, наконец, в случае предела при 
бесконечно большую последовательность, состоящую из положительных [отрицательных] чисел.
Рассмотрим примеры применения теоремы 3.21. Выше в п. 2 мы убедились в том, что для любой точки а бесконечной прямой 
Используя теорему 3.21, мы можем утверждать, что
и, вообще, для любого номера 
Пусть теперь 
где 
— некоторые постоянные числа. Такая функция 
называется многочленом степени 
В силу той же теоремы 3.21
для любой точки а бесконечной прямой.
Итак, многочлен 
имеет предел в любой точке а бесконечной прямой, и этот предел равен частному значению этого многочлена в точке а.
Пусть, наконец, 
— два произвольных многочлена степеней пит соответственно. Частное 
принята называть рациональной дробью. В силу теоремы 3.21 для случая частного
в любой точке а, не являющейся корнем многочлена 
Таким образом, рациональная дробь имеет предел в каждой точке а бесконечной прямой, не являющейся корнем ее знаменателя, и этот предел равен частному значению этой дроби в указанной точке а.
