9. Производные и дифференциалы высших порядков.

Аналогично тому, как это было сделано в для второй производной отображения одного нормированного пространства в другое нормированное пространство можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще производной отображения определив производную как производную от производной порядка. При этом, очевидно, производная представляет собой элемент пространства встречается раз. Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства поставить в соответствие

элемент пространства полилинейных (а именно -нейных отображений При этом под полилинейным отображением (-линейным) отображением одного нормированного пространства в другое понимается такое соответствие между упорядоченными системами элементов из и элементами пространства которое линейно по каждому из при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором условию

Таким образом, производную отображения можно считать элементом пространства

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков. Напомним, что мы определили сильный дифференциал отображения как результат применения к элементу линейного оператора т. е. в виде

Дифференциал второго порядка определяется как величина где является квадратичным выражением, отвечающим отображению

Аналогично дифференциалом порядка называется выражение т. е. дифференциалом порядка называется элемент пространства который получается в результате применения оператора к элементу пространства