Глава 13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

Во многих вопросах естествознания приходится сталкиваться с такой ситуацией, когда переменная и, являющаяся по смыслу функцией аргументов задается посредством функционального уравнения

В этом случае говорят, что и как функция аргументов задана неявно. Естественно, возникает вопрос о том, при каких условиях функциональное уравнение однозначно разрешимо относительно и, т. е. однозначно определяет явную функцию и более тонкий вопрос о том, при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.

Рис. 13.1

Указанные вопросы не являются простыми. В качестве примера обратимся к функциональному уравнению определяющему в пространстве переменных (и, сферу радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 13.1). Очевидно, указанное функциональное уравнение определяет в круге бесконечно много явных функций. Таковыми являются функция функция и любая функция, равная для одних точек круга и равная для других точек этого круга.

При каких же условиях существует единственная явная функция, удовлетворяющая уравнению

Фиксируем на сфере 5 произвольную точку М0(и, не лежащую в плоскости т. е. такую, что Очевидно, что часть сферы лежащая в достаточно малой окрестности точки однозначно проектируется на плоскость (см. рис. 13.1). Аналитически это означает, что если рассматривать функцию только в указанной достаточно

но малой окрестности точки то уравнение однозначно разрешимо относительно и и определяет единственную явную функцию при и соответственно при

Если же на сфере S взять точку лежащую в плос кости (см. рис. 13.1), то очевидно, что часть сферы 5, лежащая в любой окрестности неоднозначно проектируется на плоскость Лналитически это означает, что если рассматривать функцию в любой окрестности точки то уравнение не является однозначно разрешимым относительно и. Обратим внимание на то, что частная производная функции не обращается в нуль в точке и обращается в нуль в точке Ниже мы установим, что для однозначной разрешимости в окрестности точки общего функционального уравнения относительно и принципиальную роль играет необращение в нуль в точке частной производной Попутно мы установим условия, при которых явная функция, представляющая собой единственное решение этого уравнения является непрерывной и дифференцируемой.

Полученные нами результаты будут перенесены на случай неявных функций, определяемых системой функциональных уравнений, а также на случай абстрактных функций, осуществляющих отображения произвольных банаховых пространств.