Глава 13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Во многих вопросах естествознания приходится сталкиваться с такой ситуацией, когда переменная и, являющаяся по смыслу функцией аргументов 
задается посредством функционального уравнения 
В этом случае говорят, что и как функция аргументов 
задана неявно. Естественно, возникает вопрос о том, при каких условиях функциональное уравнение 
однозначно разрешимо относительно и, т. е. однозначно определяет явную функцию 
и более тонкий вопрос о том, при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.
Рис. 13.1
Указанные вопросы не являются простыми. В качестве примера обратимся к функциональному уравнению 
определяющему в пространстве переменных (и, 
сферу 
радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 13.1). Очевидно, указанное функциональное уравнение определяет в круге 
бесконечно много явных функций. Таковыми являются функция 
функция и 
любая функция, равная 
для одних точек круга и равная 
для других точек этого круга.
При каких же условиях существует единственная явная функция, удовлетворяющая уравнению 
Фиксируем на сфере 5 произвольную точку М0(и, 
не лежащую в плоскости 
т. е. такую, что 
Очевидно, что часть сферы 
лежащая в достаточно малой окрестности точки 
однозначно проектируется на плоскость 
(см. рис. 13.1). Аналитически это означает, что если рассматривать функцию 
только в указанной достаточно
но малой окрестности точки 
то уравнение 
однозначно разрешимо относительно и и определяет единственную явную функцию 
при 
и соответственно 
при 
Если же на сфере S взять точку 
лежащую в плос кости 
(см. рис. 13.1), то очевидно, что часть сферы 5, лежащая в любой окрестности 
неоднозначно проектируется на плоскость 
Лналитически это означает, что если рассматривать функцию 
в любой окрестности точки 
то уравнение 
не является однозначно разрешимым относительно и. Обратим внимание на то, что частная производная 
функции 
не обращается в нуль в точке 
и обращается в нуль в точке 
Ниже мы установим, что для однозначной разрешимости в окрестности точки 
общего функционального уравнения 
относительно и принципиальную роль играет необращение в нуль в точке 
частной производной 
Попутно мы установим условия, при которых явная функция, представляющая собой единственное решение этого уравнения является непрерывной и дифференцируемой.
Полученные нами результаты будут перенесены на случай неявных функций, определяемых системой функциональных уравнений, а также на случай абстрактных функций, осуществляющих отображения произвольных банаховых пространств.
