2. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Напомним, что приращением (или полным приращением) функции; . В точке соответствующим приращениям аргументов, называется выражение

Определение. Функция называется, дифференцируемой в данной точке если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в. виде

где некоторые не зависящие от числа, а бесконечно малые при функции, равные нулю при

Соотношение (12.14) называется условием дифференцируемости функции в данной точке М. Условие (12.14) дифференцируемости функции можно записать также в иной форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую при функцию и отметим, что эта функция обращается в нуль лишь при Убедимся теперь, что входящая в правую часть соотношения (12.14) сумма представляет бесконечно малую более высокого порядка функцию по сравнению с . Иными словами, убедимся, что эта сумма пред; ставляет собой выражение . В самом деле, при справедливо неравенство и поэтому

Таким образом, условие (12.14) дифференцируемости функции может быть записано в следующей форме:

При этом величину мы считаем равной нулю при

Чтобы доказать, что условие (12.15) эквивалентно условию (12.14), нужно убедиться, что из представления (12.15), в свою очередь, вытекает представление (12.14). Для этой цели, считая, что не все равны нулю, представим в виде

Полагая и учитывая, что является бесконечно малой при (а значит, и при функцией, мы придем к представлению (12.14).

Итак, условие дифференцируемости функции можно записать как в виде (12.14), так и в виде (12.15).

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то сумма представляет собой главную, линейную относительно приращений аргументов часть приращения дифференцируемой функции. Отметим, что при определении понятия дифференцируемости функции мы не исключали возможности обращения всех чисел в нуль, и поэтому если приращение функции может быть представлено в виде (12.14) или (12.15) при то функция дифференцируема в данной точке.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 12.9. Если функция дифференцируема в точке то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем где определяются из условия (12.14) или (12.15) дифференцируемости функции.

Доказательство. Из условия (12.14) дифференцируемости функции в точке вытекает, что ее частное приращение в этой точке равно Отсюда вытекает, что и поэтому, так как при

Следствие 1. Условие (12.15) дифференцируемости функции в данной точке М можно записать в следующей форме:

Следствие 2. Если функция дифференцируема в точке то представление ее приращения в форме (12.14) или (12.15) единственно.

В самом деле, коэффициенты этих представлений равны частным производным в данной точке М и поэтому определяются единственным образом.

Убедимся в справедливости следующего важного свойства дифференцируемых функций.

Если функция дифференцируема в точке то она и непрерывна в этой точке.

В самом деле, из условия (12.14) дифференцируемости функции в точке вытекает, что а это означает,

что функция непрерывна в точке М (см. п. 1 § 3, формула (12.7)).