Исследование на экстремум функционалов в нормированных пространствах

В главе, посвященной дифференциальному исчислению функции одной переменной, и в § 6 гл. 12 мы уже занимались задачей об отыскании экстремумов функции одной или нескольких переменных. Однако ряд задач, имеющих важное практическое применение, приводит к отысканию экстремумов функционалов, определенных на нормированном пространстве. Так, например, еще в 1696 г. Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линий наиболее быстрого ската — брахистохроне. В этой задаче требуется найти линию, соединяющую две точки не лежащие на одной вертикальной прямой, и обладающую тем свойством, что материальная точка скатится по этой линии из точки в точку в кратчайшее время. Эта задача приводит к исследованию на экстремум функционала определенного на нормированном пространстве непрерывно дифференцируемых функций (см. дополнение 1) вида

где — элемент пространства . Оказалось, что линией наиболее быстрого ската является циклоида (см. § 7 гл. 5)

Основным принципом в механике является принцип стационарного действия Остроградского—Гамильтона, утверждающий, что среди возможных, т. е. совместимых со связями, движений системы материальных точек в действительности осуществляется движение, которое можно определить, исследовав на экстремум функционал

где Т — кинетическая, потенциальная энергия системы.

Изучение таких задач, в которых надо исследовать на экстремум определенный функционал, составляет содержание так называемого вариационного исчисления. В настоящем пункте мы коснемся лишь некоторых основных фактов этой дисциплины.

1. Необходимое условие экстремума.

Пусть -некоторый действительный функционал, определенный на банаховом пространстве В, т. е. — отображение полного нормированного пространства В в действительную числовую ось.

Определение. Функционал достигает в точке локального минимума (максимума), если для всех х, находящихся в достаточно малой окрестности точки е. для всех х, для которых норма разности достаточно мала), выполнено неравенство Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим наименованием «локальный экстрему

Для функций переменных мы установили в § 6 следующее необходимое условие экстремума: если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то в этой точке либо либо, что то же,

Для функционалов на произвольном нормированном пространстве справедлива аналогичная теорема.

Теорема. Для того чтобы дифференцируемый на нормированном пространстве функционал достигал в точке экстремума, необходимо, чтобы его дифференциал в этой точке равнялся нулю тождественно относительно

т. е. необходимо, чтобы

Доказательство. Поскольку функционал дифференцируем, то по определению дифференцируемости

Если для некоторого элемента , то для всех достаточно малых действительных чисел X знак всего выражения совпадает со знаком его главного члена. так как если А, мало, то величина также мала и есть величина более высокого порядка малости по сравнению с Функционал линейный, поэтому . Следовательно, если то приращение

(при данном для которого может принимать при сколь угодно малых по норме элементах как положительные, так и отрицательные значения, т. е. экстремума в точке быть не может. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим функционал

заданный на пространстве непрерывно дифференцируемых

на отрезке функций. Здесь

— дважды дифференцируемая функция своих аргументов на множестве . Этот функционал играет важную роль в вопросах вариационного исчисления.

Согласно предыдущей теореме, для того чтобы найти те точки, в которых возможен экстремум, т. е. найти стационарные точки, необходим найти сильный дифференциал этого функционала и приравнять его нулю. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функции получим, что

где . Напомним, что норма элемента в пространстве определяется по правилу

Поэтому

Итак, необходимое условие экстремума для данного функционала имеет вид — произвольное приращение аргумента

На самом деле, можно убедиться, что условие эквивалентно следующим:

Это так называемая краевая задача для функции определяет некоторую кривую на которой возможно достижение функционалом экстремума. Указанная краевая задача состоит из дифференциального уравнения для функции (уравнения, содержащего функцию и ее производные) вида которое называется уравнением

нением Эйлера для функционала и краевых условий вида