3. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции определенной и непрерывной на интервале

Рис. 5.1

Фиксируем произвольную точку х интервала и рассмотрим приращение аргумента х, настолько малое, что число также принадлежит интервалу Пусть М и Р — точки графика функции абсциссы которых соответственно равны (рис. 5.1). Координаты точек М и Р, очевидно, будут иметь вид

Прямую, проходящую через точки М и Р графика функции будем называть секущей. Поскольку точку М мы предполагаем фиксированной, то угол наклона каждой секущей к будет функцией аргумента (ибо значение однозначно определяет точку Р графика функции Обозначим указанный угол наклона секущей к оси символом

Определение. Если существует предельное положение секущей при стремлении точки Р графика функции к точке М (или, что то же самое, при стремлении к нулю), то это предельное положение называется касательной к графику функции в данной фиксированной точке М этого графика,

Из этого определения следует, что для существования касательной к графику функции в точке М достаточно, чтобы существовал предел причем указанный предел равен углу наклона касательной к оси

Докажем следующее утверждение.

Если функция имеет в данной фиксированной точке х производную, то существует касательная к графику функции в точке причем угловой коэффициент этой касательной (т. е. тангенс угла наклона ее к оси равен производной

Опустим из точек М и Р перпендикуляры на ось абсцисс (см. рис. 5.1). Проведем через точку М прямую, параллельную оси абсцисс, и обозначим через точку пересечения этой прямой с перпендикуляром, опущенным из Р на ось абсцисс. Из треугольника очевидно, что

Таким образом,

Убедимся в том, что существует предел правой (а значит, и левой) части (5.6) при . В самом деле, в силу существования производной существует предел Отсюда и из непрерывности функции и для всех значений и следует, что существует предел правой части (5.6), равный

Итак, мы доказали, что существует предел

Но это и означает, что существует предельное положение секущей, т. е. существует касательная к графику функции в точке причем угол наклона этой касательной к оси равен

Значит, угловой коэффициент указанной касательной равен

Сформулированное утверждение доказано.