4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей.

Начнем с рассмотрения последовательности, которая широко используется в современной вычислительной математике для приближенного нахождения корня квадратного из положительного вещественного числа а. Эта последовательность определяется следующей рекуррентной формулой:

где в качестве первого приближения берется любое положительное число.

Прежде всего докажем, что такая последовательность сходится, для чего в силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что она ограничена снизу и, начиная со второго номера, является невозрастающей.

Начнем с доказательства аниченности снизу. По условию Но тогда из рекуррентной формулы (3.38), взятой при вытекает, что далее из той же формулы взятой при вытекает, что Продолжая эти рассуждения далее, мы последовательно докажем, что все Итак, рассматриваемая последовательность ограничена снизу.

Докажем теперь, что при все элементы удовлетворяют неравенству Переписав формулу (3.38) в виде

воспользуемся тривиальным неравенством справедливым для всех

Взяв в этом неравенстве мы получим, что и поэтому соотношение (3.39) дает Это и означает, что при

Докажем, наконец, что последовательность если ее рассматривать с номера является невозрастающей. Из рекуррентной формулы (3.38) вытекает, что

Из последнего соотношения, учитывая, что а при получим, что при или при Итак, при последовательность является невозрастающей.

По теореме 3.15 последовательность сходится к некоторому пределу х. Остается найти этот предел. Учитывая, что при мы получим (в силу теоремы 3.13), что

Принимая во внимание, что перейдем к пределу при в рекуррентном соотношении (3.38). Мы получим в пределе при из (3.38) следующее равенство:

Это равенство представляет собой уравнение для определения предела х. Единственный положительный корень этого уравнения есть

Итак, мы окончательно доказали, что последовательность определяемая рекуррентной формулой (3.38) при любом выборе сходится к пределу

В качестве другого применения теоремы 3.15 рассмотрим вопрос о вычислении предела последовательности элементы которой имеют вид

где t — любое фиксированное вещественное число. Для любого фиксированного t найдется номер такой, что при всех Но тогда, поскольку мы получим, что при всех т. е., начиная с номера последовательность является убывающей. Так как, кроме того, эта последовательность ограничена снизу (например, числом нуль), то

по теореме 3.15 она сходится к некоторому пределу х. Для нахождения х запишем соотношение (3.40) для номера

Таким образом, перейдя в последнем равенстве к пределу при мы получим соотношение

Итак, последовательность а вместе с ней и последовательность (3.40), сходится к пределу

В обоих рассмотренных примерах мы применили часто употребляемый прием: сначала с помощью теоремы 3.15 доказали существование предела последовательности, а затем нашли этот предел, устремив номер к бесконечности в рекуррентном соотношении, выражающем элемент последовательности через ее элемент.

В качестве третьего примера изучим вопрос о сходимости последовательности элемент которой имеет вид

при условии, что и общее число извлекаемых корней равно

Указанную последовательность можно задать рекуррентным соотношением

при условии, что

Для доказательства сходимости рассматриваемой последовательности достаточно (в силу теоремы 3.15) доказать, что она возрастает и ограничена.

Сначала докажем возрастание последовательности (3.41), т. е. докажем, что для любого номера

Доказательство этого неравенства проведем по индукции Достаточно доказать два утверждения: 1) неравенство (3.44) справедливо для номера т. е. справедливо неравенство

2) из справедливости неравенства (3.44) для данного номера

вытекает справедливость этого неравенства и для номера т. е. вытекает справедливость неравенства

Справедливость неравенства (3.45) сразу вытекает из равенства (3.43) и из соотношения

Докажем, что из справедливости неравенства (3.44) вытекаеу справедливость неравенства (3.46). Из неравенства (3.44) и рекуррентной формулы (3.42) вытекает, что

С другой стороны, записывая рекуррентное соотношение (3.42) для номера мы получим равенство

Из сопоставления равенства (3.48) с неравенством (3.47) и вытекает неравенство (3.46). Тем самым индукция завершена и возрастание последовательности (3.41) доказано.

Докажем теперь, что эта последовательность ограничена сверху. Снова пользуясь методом математической индукции, мы докажем, что для всех номеров

где М — наибольшее из двух чисел а и 2.

Сначала проверим, что неравенство (3.49) справедливо для номера Пользуясь равенством (3.43) и рассматривая отдельно случаи мы получим

Из (3.50) вытекает, что где

Пусть теперь неравенство (3.49) справедливо для данного номера Пользуясь рекуррентным соотношением (3.42) и рассматривая отдельно случаи мы получим, что

Из (3.51) вытекает справедливость неравенства где

Таким образом, индукция завершена, и ограниченность последовательности (3.41) доказана.

По теореме 3.15 последовательность (3.41) сходится к некоторому пределу х.

Остается найти этот предел.

Из соотношения (3.41) очевидно, что все элементы рассматриваемой последовательности неотрицательны. Следовательно, в силу теоремы 3.13 и искомый предел х этой последовательности неотрицателен.

Возводя в квадрат рекуррентное соотношение (3.42), мы получим равенство

Так как последовательность сходится к пределу х, то, переходя в равенстве (3.52) к пределу при и пользуясь теоремой о пределе суммы и произведения двух сходящихся последовательностей, мы получим следующее соотношение для определения искомого предела

или, что то же самое,

Соотношение (3.53) представляет собой квадратное уравнение для определения искомого предела х. Это уравнение имеет два корня:

Так как искомый предел, как уже указано выше, является неотрицательным числом, то мы окончательно получим, что он совпадает с положительным корнем уравнения (3.53), т. е. равен