3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Мощность множества.

Важным вопросом при изучении множеств; является вопрос о том, как сравнивать между собой два множества, имея в виду «количество» элементов, в них содержащихся. Если мы имеем два множества, каждое из которых содержит конечное число элементов, то элементы в этих множествах мы можем просто каким-нибудь способом занумеровать. При этом может оказаться, что в первом и втором множествах содержится одина ковое число элементов. Назовем такие два множества, содержащие конечное и одинаковое число элементов, эквивалентным и. Если в одном из рассматриваемых множеств элементов окажется больше, то мы будем говорить, что оно имеет большую» мощность, чем другое из рассматриваемых множеств.

Обратимся теперь к множествам, состоящим из, вообще говоря, бесконечного числа элементов. Примерами таких множеств являются множество рациональных чисел или множество вещественных чисел, лежащих на сегменте [0, 1].

Назовем два множества А и В эквивалентными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому элементу отвечает единствённый элемент каждый, элемент сопоставлен некоторому элементу и разным элементам множества А отвечают разные элементы множества В.

Взаимно однозначное соответствие называют иногда биективным соответствием.

В частности, множества, содержащие конечное число элементов, эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Эквивалентность множеств А и В обозначается так:

Покажем, например, что множество рациональных чисел и множество натуральных чисел эквивалентны. Заметим сначала, что для любого целого два рациональных числа являются одинаковыми (здесь ). Поэтому всякое рациональное число можно записать в виде и дробь считать несократимой. Число 0 будем считать записанным одним способом:

Назовем число высотой рационального числа Ясно, что рациональных чисел имеющих данную высоту, конечное число. Будем нумеровать натуральными числами рациональные числа по возрастанию высоты, т. е. сперва занумеруем все рациональные числа высоты Такое число только одно: 0. Этому рациональному числу припишем индекс 1, т. е., поставим ему в соответствие натуральное число 1. Затем занумеруем рациональные числа высоты Таких чисел два:

и Первому из них поставим в соответствие натуральное число 2 (т. е. занумеруем его индексом 2), второму — число 3. После этого занумеруем рациональные числа высоты 3 и т. д. Ясно, что при этом мы установим взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами, т. е.

Введем понятие счетного множества.

Определение 1. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Согласно этому определению и рассуждениям, проведенным выше, мы получаем, что множество рациональных чисел является счетным множеством.

Докажем следующие два простых утверждения о счетных множествах.

Утверждение 1. Всякое непустое подмножество счетного множества является или множеством, состоящим из конечного числа элементов, или множеством счетным.

Доказательство. Пусть А — исходное счетное множество, т. е. — множеству натуральных чисел. Это означает, что элементы множества А можно занумеровать каким-нибудь способом. Расположим элементы множества А в виде последовательности: Пусть В — непустое подмножество множества А. Рассмотрим последовательно элементы множества А. Если то этот элемент мы обозначим через если мы переходим к рассмотрению элемента При рассмотрении элемента могут представиться две возможности: а) элемент если при этом было выполнено, что и то элемент мы обозначим через если же то элемент обозначается через элемент тогда переходим к рассмотрению элемента Ясно, что при этом может случиться, что все элементы множества В будут расположены в виде конечной последовательности: . В этом случае множество В состоит из конечного числа элементов. Если этого не случится, то мы выпишем все элементы множества В в виде бесконечной последовательности элементов откуда следует, что множество В счетное. Утверждение доказано.

Утверждение 2. Сумма любой конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство. Рассмотрим, например, случай, когда имеется счетная совокупность счетных множеств. Пусть — совокупность множеств, каждое из которых счетно. Расположим элементы множеств в виде последовательностей:

Пусть Произведем нумерацию элементов а множества следующим образом:

У некоторых множеств могут оказаться общие элементы (при ). В этом случае мы их учитываем только один раз.

Таким образом, элементы множества А можно занумеровать т. е. поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел т. е. А счетно. Утверждение доказано.

Возникает вопрос: существуют ли бесконечные несчетные множества, т. е. такие бесконечные множества, которые нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел? Ответ содержится в доказываемой ниже теореме.

Теорема 2.2. Множество всех точек сегмента несчетно.

Доказательство. Рассмотрим интервал (0, 1). Очевидно, что если мы докажем, что интервал (0,1) несчетен, то и сегмент будет несчетен, так как множество точек сегмента [0, 1] отличается от множества точек интервала (0,1) всего двумя точками: 0 и 1. Итак, докажем, что множество точек интервала (0, 1) несчетно. Допустим противное, т. е. предположим, что все вещественные числа интервала (0, 1) можно занумеровать.

Записывая все числа интервала в виде бесконечных: десятичных дробей, получим, что

Рассмотрим на интервале (0,1) вещественное число где — любая цифра, отличная от — любая цифра, отличная от — любая цифра, отличная от и 9. Достаточно доказать, что число х не совпадает ни с одним из чисел Число не содержит после запятой нулей и девяток, т. е. это число не принадлежит классу

рациональных чисел, представимых двумя способами в виде бесконечных десятичных дробей. В таком случае число х допускает единственное представление в виде бесконечной десятичной дроби и оно отлично от всех чисел ибо совпадение числа х с каким-либо числом означало бы совпадение и Таким образом, интервал (0, 1), а вместе с тем и сегмент [0, 1] несчетен. Теорема доказана.

Определение 2. Множество, эквивалентное множеству точек сегмента [0, 1], называется множеством мощности континуум а.

Из доказанной теоремы 2.2 следует, что множества мощности континуума и счетные множества не являются эквивалентными между собой множествами. В частности, из теоремы 2.2 следует, что существуют иррациональные числа, так как уже на сегменте не все числа рациональны: в противном случае их можно было бы перенумеровать. Из теоремы 2.2 также следует, что иррациональных чисел несчетное множество, так как если бы их было счетное множество или конечное число, то по утверждению 2 и всех чисел — рациональных и иррациональных — было бы счетное множество.

Рассмотрим два произвольных множества А и В. Если эти множества являются эквивалентными, то мы будем говорить, что они имеют одинаковую мощность или являются равномощными.

Для обозначения равномощности множеств А и В используют следующую символику:

Если множество А эквивалентно некоторому подмножеству множества В и при этом множество А не содержит подмножества, эквивалентного множеству В, то будем говорить, что мощность множества А меньше мощности множества В.

Для обозначения того, что мощность множества А меньше мощности В, используют следующую символику:

Например, из данного выше определения множества мощности континуума, из теоремы 2.2 и из утверждения 1 о счетных множествах следует, что мощность счетного множества меньше мощности множества сегмента [0, 1], т. е. мощности континуума.

Итак, нами введено сравнение мощностей двух множеств. Логически возможны еще два случая:

а) Множество А содержит подмножество, эквивалентное множеству В, а множество В содержит подмножество, эквивалентное А

б) Множества A и В не эквивалентны, и ни одно из них не содержит подмножества, эквивалентного другому множеству. Нетрудно доказать, что в случае а) множества А и В будут эквивалентны. Случай же б) на самом деле невозможен.

Заметим еще, что трудной проблемой оказался вопрос о существовании множества промежуточной мощности между мощностью счетных множеств и мощностью континуума. Оказалось, что утверждение как о существовании, так и об отсутствии множества промежуточной мощности не противоречит аксиомам теории множеств и не может быть выведено из них. Тем самым это утверждение является одной из аксиом аксиоматической теории множеств.

В заключение докажем, что сегмент [0, 1] и интервал (0, 1) — эквивалентные или, что то же, равномощные множества. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между их элементами. Выберем на сегменте [0, 1] и интервале (0, 1) последовательность точек

Точке 0 сегмента [0, 1] поставим в соответствие точку интервала (0, 1), точке 1 сегмента [0, 1] поставим в соответствие точку — интервала (0, 1), далее точке сегмента поставим в соответствие точку интервала точке — сегмента [0, 1] поставим в соответствие точку интервала Всем остальным точкам сегмента (т. е. точкам, отличным от 0,1 и не принадлежащим выбранной последовательности) ставятся в соответствие те же точки тервала, т. е. точки, имеющие те же абсциссы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между сегментом [0, 1] и интервалом (0, 1) установлено.