2. Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел.

Теорема о существовании суммы вещественных чисел. Для любых вещественных чисел а и b существует вещественное число х, являющееся их суммой.

Доказательство. Фиксируем произвольные рациональные числа удовлетворяющие неравенствам и рассмотрим всевозможные рациональные числа удовлетворяющие неравенствам

Убедимся в том, что множество всех сумм отвечающих указанным выше всевозможным рациональным ограничено сверху.

В силу свойства транзитивности знаков неравенств вытекает, что а из неравенств вытекает, что

Но два неравенства одного знака, связывающие рациональные числа, можно складывать почленно (см. конец п. 1 § 1). Значит, справедливо неравенство

которое и доказывает ограниченность множества сверху и тот факт, что число является одной из верхних граней этого множества.

По основной теореме 2.1 (см. § 2) у множества существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через х. Остается убедиться в том, что это вещественное число х и является суммой чисел а и т. е. удовлетворяет неравенствам . Справедливость левого неравенства вытекает из того, что х является верхней гранью множества а справедливость правого неравенства вытекает из того, что число является одной из верхних граней множества а число х является точной, т. е. наименьшей, верхней гранью этого множества. Теорема доказана.

Аналогично можно было бы доказать, что в качестве х можно взять точную нижнюю грань множества сумм всевозможных рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам

Теорема единственности суммы двух вещественных чисел. Может существовать только одно вещественное число х, являющееся суммой двух данных вещественных чисел а и

Доказательство. Предположим, что существуют два вещественных числа удовлетворяющие неравенствам

для всевозможных рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам

Фиксируем произвольное положительное рациональное число е. В силу леммы 1 из § 3 для положительного рационального числа

и для данного вещественного числа а найдутся такие рациональные числа что причем

Аналогично для указанного и для данного вещественного числа b найдутся такие рациональные числа что причем

Если взять в неравенствах (2.13) указанные то мы получим, что оба числа удовлетворяют неравенствам (2.12), которые можно переписать в виде

положив -Учитывая, что

мы получим, что оба числа заключены между рациональными числами разность между которыми меньше наперед, взятого положительного рационального е.

В силу леммы 3 из § 3 мы получим, что

Теорема доказана.

Следствие. В применении к двум рациональным числам а и данное нами определение суммы вещественных чисел приводит к тому же результату, что и прежнее определение суммы рациональных чисел.

В самом деле, пусть а и b — два рациональных числа, а — их сумма согласно прежнему определению, — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (2.13). Тогда, очевидно, справедливы неравенства

причем, согласно теореме единственности число а является единственным вещественным числом, удовлетворяющим неравенствам (2.14).

Совершенно аналогично доказывается существование и единственность произведения двух данных вещественных чисел.

Ясно, что достаточно доказать существование и единственность, произведения двух положительных чисел а и

Для доказательства существования произведения фиксируем произвольные рациональные числа удовлетворяющие неравенствам и рассмотрим всевозможные рациональные числа удовлетворяющие неравенствам Легко убедиться в том, что множество всех произведений ограничёно сверху, причем число является одной из верхних граней этого множества.

По основной теореме 2.1 существует точная верхняя грань этого множества х, которая, как легко проверить, удовлетворяет неравенствам т. е. является произведением чисел а и

Аналогично можно было бы доказать, что произведением положительных чисел а и b является точная нижняя грань множества произведений всевозможных рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам

Для доказательства единственности произведения двух положительных вещественных чисел а и b предположим, что существуют два вещественных числа удовлетворяющие неравенствам

для всевозможных рациональных таких, что

Фиксировав любое положительное рациональное число мы с помощью леммы 1 найдем для данных вещественных чисел а и b такие рациональные числа удовлетворяющие неравенствам (2.16), для которых

Но тогда в силу (2.15) оба числа будут заключены между рациональными числами разность между которыми

В силу леммы 3 из § 3 получаем, что

С помощью теоремы единственности так же, как и для суммы, доказывается, что в применении к двум рациональным числам данное нами определение произведения вещественных чисел приводит к тому же самому результату, что и прежнее определение произведения рациональных чисел.