Глава 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

В предыдущей главе мы убедились в том, что развитие теории вещественных чисел необходимо для строгого и последовательного изучения понятия предела, являющегося одним из важнейших понятий математического анализа.

Необходимая нам теория вещественных чисел, излагаемая в. этой главе, включает в себя определение операций упорядочения сложения и умножения этих чисел и установление основных свойств указанных операций, а также доказательство существования точных граней у множеств чисел, ограниченных сверху или? снизу.

В конце главы дается представление о дополнительных вопросах теории вещественных чисел, не являющихся необходимыми для построения теории пределов и вообще курса математического анализа (полнота множества вещественных чисел в смысле Гильберта, аксиоматическое построение теории вещественных чисел, связь между различными способами введения вещественных: чисел).

Самый последний параграф главы посвящен элементарным вопросам теории множеств, близко примыкающих к теории вещественных чисел.

§ 1. МНОЖЕСТВО ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ

1. Свойства рациональных чисел.

Понятие рационального числа и основные свойства рациональных чисел известны из курса средней школы. В настоящем пункте мы даем систематизацию хорошо известных из курса средней школы вопросов теории рациональных чисел.

Рациональным называется число, представимое (хотя бы одним способом) в виде отношения двух целых чисел, т. е. виде дроби , где — целые числа и

Рациональные числа обладают следующими 16 основными свойствами. (При формулировке этих свойств мы вместо термина «рациональное число» употребляем более краткий термин «число».)

1°. Любые два числа а и b связаны одним и только одним из трех знаков или причем если то Иными словами, существует правило, позволяющее установить, каким из указанных трех знаков связаны два данных числа. Это правило называется правилом упорядочения.

2°. Существует правило, посредством которого любым числам и ставится в соответствие третье число с, называемое их суммой и обозначаемое символом Операция нахождения суммы называется сложением.

3°. Существует правило, посредством которого любым числам а и b ставится в соответствие третье число с, называемое их произведением и обозначаемое символом Операция нахождения произведения называется умножением.

Правило упорядочения обладает следующим свойством:

4°. Из вытекает, что (свойство транзитивности знака из вытекает, что (свойство транзитивности знака

Операция сложения обладает следующими четырьмя свойствами:

(коммутативность или перестановочное свойство).

(ассоциативность или сочетательное свойство).

7°. Существует число 0 такое, что для любого числа а (особая роль нуля).

8°. Для каждого числа а существует противоположное ему число а такое, что

Аналогичными четырьмя свойствами обладает операция умножения:

(коммутативность)

(ассоциативность).

11°. Существует число 1 такое, что для любого числа а (особая роль единицы).

12°. Для каждого числа существует обратное ему числа а такое, что

Операции сложения и умножения связаны следующим свойством:

(дистрибутивность или распределительное свойство умножения относительно суммы).

Следующие два свойства связывают операцию упорядочения с операцией сложения или соответственно умножения:

14°. Из вытекает, что

15°. Из вытекает, что

Особая роль принадлежит последнему свойству.

16°. Каково бы ни было число а, можно число 1 повторить слагаемым столь раз, что сумма превзойдет а

Перечисленные 16 свойств называют основными потому, что все другие алгебраические свойства, относящиеся к операциям сложения и умножения и к сочетанию равенств и неравенств, могут быть извлечены как логические следствия из указанных 16 свойств.

Так, например, из основных свойств вытекает следующее часто используемое в дальнейшем свойство, позволяющее почленно складывать неравенства одного знака:

В самом деле, из неравенств и из свойств 14° и 5° вытекает, что а из двух последних неравенств и свойства 4° вытекает, что