2. n-ые производные некоторых функций.

1°. Вычислим производную степенной функции а — любое вещественное число). Последовательно дифференцируя, будем иметь

Отсюда легко уяснить общий закон

Строгое доказательство этого закона легко проводится методом математической индукции.

В частном (Случае где — натуральное число, получим

Таким образом, производная многочлена порядка при равна нулю.

2°. Далее вычислим производную показательной функции Последовательно дифференцируя, будем иметь

Общая формула, легко устанавливаемая по методу индукции, имеет вид

В частности,

3°. Вычислим производную функции

Первую производную этой функции можно записать в виде Таким образом, дифференцирование функции прибавляет к аргументу этой функции величину Отсюда получаем формулу

4°. Совершенно аналогично устанавливается формула

5°. Вычислим производную функции Докажем с помощью метода математической индукции, что справедлива следующая формула:

Учитывая, что мы

можем переписать устанавливаемую формулу в виде

Убедимся методом индукции в справедливости формулы (5.46. При в силу же самое выражение получается при из (5.46 (достаточно учесть, что

Таким образом, при формула (5.46 справедлива.

Предположим теперь, что формула (5.46 справедлива для некоторого , и убедимся, что в таком случае эта формула справедлива и для следующего номера

В самом деле, производя дифференцирование (5.46, получим

Учитывая, что мы получим, что

Мы получаем для формулу вида (5.46, взятую для номера Тем самым индукция завершена и формула (5.46) доказана.

6°. В заключение вычислим производную так называемой дробно-линейной функции , где — некоторые постоянные.

Последовательно дифференцируя эту функцию, будем иметь

Легко усмотреть и общий закон

который доказывается по методу индукции.