2. Интегрирование по частям.

К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующем утверждении.

Пусть каждая из функций дифференцируема на множестве и, кроме на этом множестве существует первообразная для функции Тогда на множестве существует первообразная и для функции причем справедлива формула

Замечание. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют записать формулу (8.8) в виде

Для доказательства сформулированного утверждения запишем формулу для производной произведения функций

Умножим равенство (8.10) на и возьмем интеграл от обеих частей полученного таким путем равенства. Так как по условию для всех х из множества существует (см. свойство 2° из п. 3 § 1), то для всех х из множества существует и интеграл причем справедлива формула (8.8) (или

Формула (8.9) сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла . В ряде конкретных случаев этот последний интеграл без труда вычисляется.

Вычисление интеграла посредством применения формулы (8.9) и называют интегрированием по частям. Заметим, что при конкретном применении формулы интегрирования по частям (8.9) очень удобно пользоваться таблицей дифференциалов, выписанной нами в п. 6 § 4 гл. 5.

Переходим к рассмотрению примеров.

1°. Вычислим интеграл Полагая и используя формулу (8.9), получим

2°. Вычислим, далее, интеграл Полагая и и используя формулу (8.9), будем иметь

3°. Вычислим интеграл . Сначала применим формулу (8.9), полагая . Получим . Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (8.9), полагая на этот раз Получим

Таким образом, интеграл вычислен нами посредством двукратного интегрирования по частям. Легко понять, что интеграл — любое целое положительное число) может быть вычислен по аналогичной схеме посредством -кратного интегрирования по частям.

4°. Вычислим теперь интеграл Сначала применим формулу (8.9), полагая

Получим

Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (8.9), полагая на этот раз Получим

Таким образом, посредством двукратного интегрирования по частям мы получим для интеграла I уравнение первого порядка (8.11). Из этого уравнения находим

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы:

1) К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: — при условии, что оставшаяся часть

подынтегральной функции представляет собой производную известной функции (см. рассмотренные выше примеры 1° и 2°). Для вычисления интегралов первой группы следует применить формулу (8.9), полагая в ней равной одной из указанных выше функций.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида где с — некоторые постоянные, — любое целое положительное число (см. рассмотренный выше пример 3°). Интегралы второй группы берутся путем -кратного применения формулы интегрирования по частям (8.9), причем в качестве всякий раз следует брать в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям эта степень будет понижаться на единицу.

3) К третьей группе относятся интегралы вида (см. рассмотренный выше пример 4°). Обозначая любой из интегралов этой группы через I и производя двукратное интегрирование по частям, мы составим для I уравнение первого порядка.

Конечно, указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям. Приведем примеры интегралов, не входящих ни в одну из перечисленных трех групп, но вычисляемых при помощи формулы (8.9).

5°. Вычислим интеграл Этот интеграл не входит ни в одну из упомянутых трех групп. Тем не менее, применяя формулу (8.9) и полагая в ней получим ,

(в проведенных рассуждениях , где

Аналогично вычисляется интеграл .

6°. Вычислим, наконец, весьма важный для дальнейшего интеграл где Этот интеграл также не входит ни в одну из упомянутых выше трех групп.

Для вычисления этого интеграла установим для него рекуррентную формулу, сводящую вопрос о вычислении к вычислению Можно записать

Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям полагая в ней

Получим

Из последнего равенства получим рекуррентную формулу

Убедимся в том, что рекуррентная формула (8.12) позволяет вычислить интеграл для любого . В самом деле, интеграл вычисляется элементарно:

После того как вычислен интеграл полагая в формуле мы без труда вычислим . В свою очередь, зная и полагая в формуле мы без труда вычислим Продолжая действовать таким образом дальше, мы вычислим интеграл для любого натурального X, выразив его через элементарные функции.