§ 3. ТЕОРЕМЫ О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Доказанные выше утверждения о свойствах верхних и нижних: сумм позволяют нам установить необходимые и достаточные условия интегрируемости по Риману произвольной ограниченною функции.

1. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

Вспомогательная теорема. Для того чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируема на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте Тогда существует предел интегральных сумм а при стремлении диаметра разбиений к нулю.

По определению предела интегральных сумм для любого существует такое что для любого выбора промежуточных точек разбиения с диаметром выполняется неравенство

Согласно лемме 2 для данного разбиения можно так выбрать промежуточные точки и в каждом частичном сегменте что будут справедливы неравенства

Подчеркнем, что, кроме того, для данного разбиения одновременно выполнены неравенства

Заметим теперь, что

Отсюда, учитывая, что модуль суммы четырех величин не превосходит суммы их модулей, получаем, что Итак, для любого существует такое что для любого разбиения х диаметром справедливо неравенство . Поскольку для любого разбиения выполнены неравенства то из неравенства вытекает, что а отсюда в силу произвольности вытекает, что

Достаточность. Пусть . Согласно основной лемме Дарбу , т. е. верхний интеграл является

пределом верхних сумм, а ннжннй интеграл — пределом нижних при стремлении диаметра разбиений к нулю. Поэтому для любого можно указать такое число что для любого разбиения с диаметром одновременно выполняются неравенства При любом, указанном разбиении любая интегральная сумма удовлетворяет неравенствам а значит, и неравенствам

Отсюда (для любого разбиения с диаметром меньшим .

Таким образом, т. е. функция интегрируема.

Докажем следующую теорему, имеющую важное значение в теории интеграла Римана.

Основная теорема. Для того чтобы ограниченная на функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента для которого

Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема на сегменте При доказательстве необходимости

вспомогательной теоремы установлено, что для любого существует такое что для любого разбиения сегмента с диаметром меньшим , справедливо неравенство Необходимость доказана.

Достаточность. Дано, что для любого существует такое разбиение сегмента что для соответствующих верхней и нижней сумм выполнено соотношение Тогда поскольку

то . Из этого неравенства и из произвольности заключаем, что а по вспомогательной теореме получаем, что функция интегрируема. Теорема доказана.