3. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью.

Сильная и слабая дифференцируемость представляет собой различные понятия даже в случае -мерного евклидова пространства при

Действительно, рассмотрим, например, функцию двух переменных

— точка плоскости.

Легко проверить, что эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0, 0). В точке (0, 0) имеем

где — точка плоскости, представляющая собой некоторое приращение аргумента х функции в точке (0, 0).

Таким образом, мы видим, что в точке (0, 0) слабый дифференциал существует и равен нулю.

С другой стороны, в начальной точке имеем это непосредственно вытекает из самого определения частных производных и из того, что Поэтому, записывая приращение функции в точке (0, 0) в виде

где — приращение аргумента, при получим, что

Выбирая имеем что приводит к противоречию. Действительно, величина поделенная на норму А, при стремится к 1/2 при а величина , поделенная на при любых А, и стремится к нулю при что следует из определения .

Следовательно, функция не дифференцируема в точке (0, 0) в сильном смысле.

Однако если отображение имеет сильную производную, то оно имеет и слабую производную, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем

что и требовалось.

Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения следует его сильная дифференцируемость.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Если слабая производная отображения существует в некоторой окрестности точки и представляет собой в этой окрестности функцию от х, непрерывную в точке в точке сильная производная существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По условию отображение имеет слабую производную в точке Выбрав А так, что рассмотрим выражение

Элемент принадлежит пространству Пусть — произвольный линейный ограниченный функционал на пространстве Позже мы укажем некоторые условия на его выбор. Тогда из формулы для получим

Рассмотрим функцию числового аргумента Эта функция дифференцируема по и для нее

(Здесь мы воспользовались непрерывностью функционала поменяв местами символы а также слабой дифферёнцируемостью в окрестности

Применив к функции формулу конечных приращений на сегменте [0, 1], получим

или

Таким образом,

Отметим теперь следующий факт: запись где — некоторому нормированному пространству, а — линейный непрерывный функционал на можно рассматривать с двух точек зрения. Во-первых, можно фиксировать функционал и менять аргумент . В этом случае, например, как мы отмечали в дополнении Во-вторых, можно фиксировать элемент а менять функционалы Линейные непрерывные функционалы отображают пространство в пространство Р действительных (или комплексных) чисел и принадлежат тоже нормированному (даже банаховому в силу полноты Р, см. дополнение 2) пространству . В этом случае, например, где верхняя грань уже берется по всем функционалам т. е. по функционалам, имеющим нормы, равные единице. Поэтому, по определению верхней грани, существует такой функционал что при фиксированном Воспользуемся этим фактом и выберем функционал таким, что

где а следовательно, фиксированы.

Отсюда и из равенства для получаем, что

Но по условию есть непрерывная в точке функция от поэтому

так что есть величина выше первого порядка малости относительно как это следует из формулы есть главная, линейная по часть разности Тем самым доказано существование сильной производной и ее совпадение со слабой производной