4. Таблица основных неопределенных интегралов.

В гл. 5 мы получили таблицу производных простейших элементарных функций (см. § 5 гл. 5), представляющую собой вычислительный аппарат дифференциального исчисления. Каждая формула этой таблицы, устанавливающая, что та или иная функция имеет производную, равную приводит нас, в силу определения неопределенного интеграла, к соответствующей формуле интегрального исчисления

Таким путем мы приходим к следующей таблице основных неопределенных интегралов:

К этим формулам можно присоединить и соответствующие формулы для гиперболических функций:

Сделаем замечания в отношении формул 4°, 12° и 13°. Формула 4° справедлива для любого интервала, не содержащего значения . В самом деле, если то из формулы заключаем, что а если то из формулы заключаем, что . Тем самым формула 4° оправдана для любого

Формулы 12° и 13° занимают исключительное положение в нашей таблице, ибо эти формулы не имеют аналогов среди формул таблицы производных.

Однако для проверки формул 12° и 13° достаточно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Наша ближайшая цель — дополнить таблицу неопределенных интегралов основными приемами и методами интегрирования. Но прежде чем приступить к реализации этой цели, сделаем одно важное замечание.

В гл. 1 и 4 мы ввели понятие элементарной функции, а в п. 5 § 5 гл. 5 установили, что производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию. Иными словами, мы установили, что операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.

Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит иначе. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями.

Примерами таких интегралов могут служить следующие:

Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной. Указанные функции не только реально существуют, но и играют большую роль в различных вопросах физики. Так, например, интеграл 1°, называемый интегралом Пуассона или интегралом ошибок, широко используется в статистической физике, в теории теплопроводности и диффузии, интегралы 2° и 3°, называемые интегралами Френеля, широко применяются в оптике. Часто встречаются в приложениях и интегралы 4°- 6°, первый из которых называется интегральным логарифмом, а последние два — интегральными косинусом и синусом.

Для всех перечисленных новых функций (интеграла Пуассона, интегралов Френеля, интегрального логарифма, синуса и косинуса) составлены таблицы и графики.

Ввиду важности для приложений эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции. Вообще, следует подчеркнуть условность понятия простейшей элементарной функции.